Carattere di una serie al variare di $\alpha$

[cristian.vitali.102]

ciao, all esame mi è capitato di dover studiare questa serie..

$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha [log(n+2)-logn-2/n e^(-1/n)]$

io ho provato cosi, potete dirmi se va bene?

$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha [log(1+2/n)-2/n e^(-1/n)]$ poiche $log(1+2/n)$ è asintotico a $2/n$

$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha [-2/n(e^(-1/n)-1)]$

$\sum_{n=1}^\infty n^\alpha [-2/n^2]$ in quanto $(e^(-1/n)-1)$ è asintotico a $-1/n$

$-2\sum_{n=1}^\infty n^\alpha [1/n^2]$

$-2\sum_{n=1}^\infty 1/(n^(2-\alpha))$ per la serie armonica generalizzata:

la serie converge per $ \alpha<2 $

puo andare?

[poll89]

Ciao, la soluzione mi sembra corretta però hai commesso un'imprecisione che potrebbe affossarti. Il criterio del confronto asintotico che tu hai usato massicciamente vale solo per serie a termini positivi, e dato che hai scritto

"eos.s":
$ \sum_{n=1}^\infty n^\alpha [-2/n^2] $ in quanto $ (e^(-1/n)-1) $ è asintotico a $ -1/n $

direi che te ne sei dimenticato, in quanto $ (e^(-1/n)-1) $ è negativo (disegnalo e vedrai) Ricordatene perchè rischi bastonate se lo applichi a sproposito.

Comunque qui si può usare perchè hai $log(1+2/n) > 0 AA n in NN$ e $ -2/n(e^(-1/n)-1) >0 AA n in NN $: è quel segno - a salvare la situazione. Occhio a queste finezze, io ci cado troppo spesso, non seguirmi

[cristian.vitali.102]

grazie mille