Carattere di una serie a termini alterne

[blastor]

salve ragazzi, sto studiando questa serie a termini alterne ma non riesco ad arrivare a nessuna soluzione, potete dirmi se posso applicare qualche altro criterio?

$sum_{n=1}^infty (n e^(2n) (log(x))^n)/(3^n)$

ho risolto la sommatoria per $x>1$ e $x=1$, mentre per $0
ho provato il criterio per le serie a segni alterne ma risulta $+infty$ quindi non riesco a dire niente, ho provato con Leibniz ma non rispetta le condizioni quindi non posso dire niente.

Cos'altro posso applicare a questo punto?

[ostrogoto1]

Nota:
$ sum_{n=1}^infty (n e^(2n) (log(x))^n)/(3^n)= sum_{n=1}^infty n((e^2log(x))/3)^n $
la serie cosi' e' del tipo $ sum_{n=1}^infty na^n $, con $ ainmathbb(R) $ non cosi' difficile...nel senso che potrebbe convergere per $ |(e^2log(x))/3|<1 $. In particolare la serie potrebbe convergere solo su una parte dell'intervallo $ (0,1) $.

[ostrogoto1]

In particolare la serie $ sum_{n=1}^infty na^n $ per $ a<-1 $ non converge ne' diverge!
Infatti per tali valori di a si ha:
$ na^n=(-1)^n\n|a|^n $ e questa serie non converge ma neppure diverge a $ +oo $ oppure $ -oo $ perche' la successione delle somme parziali
$ S_N= -|a|+2|a|^2-3|a|^3+4|a|^4+...+(-1)^N\N|a|^N $ non diverge ne' a $ +oo $ ne' a $ -oo $.Infatti la sottosuccessione con N pari e' positiva ( $ 2n|a|^(2n)-(2n-1)|a|^(2n-1)>0 $ )e diverge a $ +oo $, quella con N dispari diverge a $ -oo $.

[21zuclo]

"ostrogoto":
$sum_{n=1}^infty n((e^2log(x))/3)^n $

io avrei utilizzato il criterio della radice..

ho $ a_n=n((e^2log(x))/3)^n $

ok quindi
$ \lim_(n\to +\infty) root(n)(a_n)=\lim_(n\to +\infty)root(n)(n((e^2log(x))/3)^n) = (e^2log(x))/3$

deve essere $ |(e^2log(x))/3|<1 $

non dimenticando che l'argomento del logartimo deve essere sempre $ x>0 $

[blastor]

@ostrogoto da come dici tu quindi non si può dire niente con $0
@21zuclo seguendo il tuo ragionamento per $0 ...anzi potrei dire che la serie converge per $e^(3/(e^2sqrt(n)))

Cita

Segnala

[21zuclo]

Teorema (Criterio della radice)
Sia $ \sum a_n $ una serie tale che $ a_n>0, \forall n $. Esista $ \lambda $ tale che
$ \lambda=lim_(n\to +\infty) root(n)(|a_n|) $

1. Se $ 0\leq \lambda<1 $ allora $ \sum a_n $ CONVERGE
2. Se $ 1<\lambda\leq +\infty $ allora $ \sum a_n $ DIVERGE

in questo caso il tuo $a_n$ è come se ci avessi messo il modulo.. e così posso utilizzare il criterio..

il risultato che otteniamo siamo nel primo caso..

[ostrogoto1]

Esplicito meglio il mio pensiero: dalla condizione necessaria di convergenza, ossia che il termine generale della serie tenda a 0,
$ lim_(nrarr+oo)n((e^2log(x))/3)^n={ ( +oo" "se" "(e^2log(x))/3>=1 ),( 0" "se" "|(e^2log(x))/3|<1 ),(neg EE" "se" "(e^2log(x))/3<=-1 ):} $
quindi la convergenza puo' esserci solo per $ |log(x)|<3/e^2 $ cioe' per $ exp(-3/e^2) 1) per $ x>=exp(3/e^2) $ da $ n 2) per $ exp(-3/e^2) 3) per $ 0

Cita

Segnala

[blastor]

ho capito entrambe le spiegazioni, inizialmente mi soffermavo sull intervallo $(0,1)$ perchè il log(x) con $0 grazie mille

[ostrogoto1]

Per finezza essendo
$ lim_(nrarr+oo)n((e^2log(x))/3)^n=+oo $ se $ (e^2log(x))/3>=1 $ essendo in questo caso il termine generale della serie positivo posso gia' concludere che la serie diverge , senza l'ulteriore passaggio della minorazione indicata nel messaggio precedente.