Carattere di una serie
buongiorno!
mi trovo in difficoltà nello studiare la seguente serie (l amia prof l'ha assegnata al primo appello di analisi2)
$sum_(n = 1)^(n = +oo) (1-(1/n)*ln(n^4 sen(1/n)))^(n*n^(1/2))$
ho calcolato il $lim_(n->+oo) (1-(1/n)*ln(n^4 sen(1/n)))^(n*n^(1/2)) =0$ e così ho visto che la serie soddisfa la condizione di convergenza.
ora per vedere se in effetti converge ho applicato il criterio della radice ma il risultato del limite è $1$ per cui non posso ancora stabilire se la serie converge.
ho pensato di applicare il criterio del confronto ma non riesco a trovare nessuna serie con la quale confrontarla, mi vengono in mente solo quelle della forma $(1+(1/n))$ che però non mi risolvono il problema!!!!
voi avreste qualche suggerimento da darmi???
vi prego ditemi di sì ho l'esame tra pochi giorni e nn so che fare!!!!
mi trovo in difficoltà nello studiare la seguente serie (l amia prof l'ha assegnata al primo appello di analisi2)
$sum_(n = 1)^(n = +oo) (1-(1/n)*ln(n^4 sen(1/n)))^(n*n^(1/2))$
ho calcolato il $lim_(n->+oo) (1-(1/n)*ln(n^4 sen(1/n)))^(n*n^(1/2)) =0$ e così ho visto che la serie soddisfa la condizione di convergenza.
ora per vedere se in effetti converge ho applicato il criterio della radice ma il risultato del limite è $1$ per cui non posso ancora stabilire se la serie converge.
ho pensato di applicare il criterio del confronto ma non riesco a trovare nessuna serie con la quale confrontarla, mi vengono in mente solo quelle della forma $(1+(1/n))$ che però non mi risolvono il problema!!!!
voi avreste qualche suggerimento da darmi???
vi prego ditemi di sì ho l'esame tra pochi giorni e nn so che fare!!!!
Risposte
nessuno riesce a capire qualcosa in questo esercizio??? vi prego aiutatemi sono disperata!!!
Se non ho capito male l'esponente è $n sqrt(n)$ . Se fai il limite dell'argomento della serie per $n->oo $ abbiamo
$ (1 - 1/n) -> 1$
il logaritmo lo riscriviamo: come $ln(n^4) + ln(sin(1/n))$ che ci porta a $ +oo -oo$ ma attenzione questo NON fa 0 ! è pittosto una forma indeterminata.
quindi lasciamo il logaritmo originale. Se pero proviamo a fare il limite ...non va meglio. Infatti $n^4->oo$ e $sin(1/n) = 0$ quindi abbiamo la forma indeterminata $oo*0$
possiamo però riscrivere l'argomento del logaritmo usando il metodo del confronto asintotico . Infatti posssimo dire che:
$lim n->oo (n^4 sin(1/n))/(n^4/n) = 1 $ questo sfruttando il limite notevole che ci dice che $lim n->0 sin(n)/n = 1$. Questi due limiti sono uguali. Basta sostituire a $n$ il volore$1/n$ e passare da $n->0$ a $n->oo$
Tutto questo papello per dire che se il limite è 1 allora la funzione al numeratore è asintoticamente uguale a quella di sotto.
Quindi $(n^4 sin(1/n))$ è all'incirca $(n^4/n) = n^3$ Detto cio se sostituisci $n^3$ nel limite il logaritmo va a $+oo$ quindi tutta la base va a $+oo$ e con un esponente che anch'esso va a $+oo$ il tutto non puo che fare $+oo$
Quindi la serie non converge perchè non soddisfa il criterio necessario (ma non sufficiente) alla convergenza.
Spero di non aver scritto una massa di stronxxxe
... comunque aiutati anche con questo:
http://www.wolframalpha.com/
è tipo derive o maple ma online.
PS: Impara bene il criterio del confronto e quello del confronto asintotico. Quello della radice l'ho usato pochissimo quando ho fatto l'esame io.
$ (1 - 1/n) -> 1$
il logaritmo lo riscriviamo: come $ln(n^4) + ln(sin(1/n))$ che ci porta a $ +oo -oo$ ma attenzione questo NON fa 0 ! è pittosto una forma indeterminata.
quindi lasciamo il logaritmo originale. Se pero proviamo a fare il limite ...non va meglio. Infatti $n^4->oo$ e $sin(1/n) = 0$ quindi abbiamo la forma indeterminata $oo*0$
possiamo però riscrivere l'argomento del logaritmo usando il metodo del confronto asintotico . Infatti posssimo dire che:
$lim n->oo (n^4 sin(1/n))/(n^4/n) = 1 $ questo sfruttando il limite notevole che ci dice che $lim n->0 sin(n)/n = 1$. Questi due limiti sono uguali. Basta sostituire a $n$ il volore$1/n$ e passare da $n->0$ a $n->oo$
Tutto questo papello per dire che se il limite è 1 allora la funzione al numeratore è asintoticamente uguale a quella di sotto.
Quindi $(n^4 sin(1/n))$ è all'incirca $(n^4/n) = n^3$ Detto cio se sostituisci $n^3$ nel limite il logaritmo va a $+oo$ quindi tutta la base va a $+oo$ e con un esponente che anch'esso va a $+oo$ il tutto non puo che fare $+oo$
Quindi la serie non converge perchè non soddisfa il criterio necessario (ma non sufficiente) alla convergenza.
Spero di non aver scritto una massa di stronxxxe
... comunque aiutati anche con questo:http://www.wolframalpha.com/
è tipo derive o maple ma online.
PS: Impara bene il criterio del confronto e quello del confronto asintotico. Quello della radice l'ho usato pochissimo quando ho fatto l'esame io.
"Bemipefe":
Quindi $(n^4 sin(1/n))$ è all'incirca $(n^4/n) = n^3$ Detto cio se sostituisci $n^3$ nel limite il logaritmo va a $+oo$ quindi tutta la base va a $+oo$ e con un esponente che anch'esso va a $+oo$ il tutto non puo che fare $+oo$
[tex]\frac{1}{n}\log(n^3)[/tex] non tende a infinito per [tex]n\rightarrow+\infty[/tex].
$\frac{1}{n}\log(n^3)$ non tende a infinito per $n\rightarrow+\infty.$
Si hai raigione. Scusate ma avevo non so come interpretato $(1-1/n)$ che moltiplicava il logaritmo. Invece il limite diventa $(1 - ln(n^3)/n)^(n*sqrt(n)) $
Il limite fa 1 in quanto il logaritmo cresce meno velocemente di n e dunque il termine di destra tende a 0 quindi rimarrebbe (1)^00 che possiamo azzardare a dire che è 1.
Quindi in ogni caso la serie non converge perchè il limite dovrebbe essere 0 come da criterio.
"Bemipefe":
Invece il limite diventa $(1 - ln(n^3)/n)^(n*sqrt(n)) $
Il limite fa 1 in quanto il logaritmo cresce meno velocemente di n e dunque il termine di destra tende a 0 quindi rimarrebbe (1)^00 che possiamo azzardare a dire che è 1.
Non è un azzardo che possiamo prendere. Quel limite dà 0.
scusa ma $lim_(n->+oo) (1-((ln n^3)/n))^(n*n^(1/2)) =0$ quindi il criterio necessario per la convergenza è ancora verificato!!!
così mi ritrovo ancora allo stesso punto di prima!
così mi ritrovo ancora allo stesso punto di prima!
Il criterio di Raabe dovrebbe funzionare, ma non so se l'avete studiato.
no, non lo abbiamo studiato
avevo pensato che siccome $ln n >n$ allora $(ln n^3)/n < n^3 /n= n^2$ quindi $(1-(ln n^3)/n) > (1-n^2)$ solo che poi andando avanti mi viene il limite di $(-oo)^(+oo)$ oppure come già mi succedeva all'inizio usando il criterio della radice il limite mi da $1$!
non riesco a trovare un confronto decente....
avevo pensato che siccome $ln n >n$ allora $(ln n^3)/n < n^3 /n= n^2$ quindi $(1-(ln n^3)/n) > (1-n^2)$ solo che poi andando avanti mi viene il limite di $(-oo)^(+oo)$ oppure come già mi succedeva all'inizio usando il criterio della radice il limite mi da $1$!
non riesco a trovare un confronto decente....
Non è un azzardo che possiamo prendere. Quel limite dà 0
Si effettivamente ti da ragione anche wolframalpha
La cosa strana però è che
$lim n->oo " " ln(n^4·sin(1/n))/n = lim n->oo " " ln(n^3)/n = 0$
e in oltre $lim n->oo " " 1^n = 1$
c'e qualcosa che non torna. Quell'esponente cambia il valore del limite ma non riesco a capire perchè.
Comuque se il limite è 0 allora bisogna studiare la convergenza. Vediamo se mi viene in mente qualcosa.
io per vedere che quel limite era 0 ho usato il limite notevole $lim_(x->+oo) (1-(1/x))^x$ che in questo caso veniva $(1/e)^(+oo) =0$ 
ok ho letto il criterio di raabe e calcolando il limite di questo criterio con la calcolatrice (tanto non posso usarlo quindi nn mi andava di fare tutti i calcoli a mano!!! 
) ho visto che è $+ oo$
Almeno ho scoperto che la mia serie diverge!!! ora sicuro che per il confronto devo trovare una quantità minore!!! XD
mi metto all'opera.....ma se a voi viene in mente qualcosa non vi preoccupate suggerite pure
) ho visto che è $+ oo$Almeno ho scoperto che la mia serie diverge!!!
ora sicuro che per il confronto devo trovare una quantità minore!!! XDmi metto all'opera.....ma se a voi viene in mente qualcosa non vi preoccupate suggerite pure
No, il criterio di Raabe dice che se
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)>1[/tex]
allora la serie converge.
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)>1[/tex]
allora la serie converge.
ops....è vero!!! mi sono confusa!!! grazie!!! 
"Bemipefe":
La cosa strana però è che
$lim n->oo " " ln(n^4·sin(1/n))/n = lim n->oo " " ln(n^3)/n = 0$
e in oltre $lim n->oo " " 1^n = 1$
c'e qualcosa che non torna. Quell'esponente cambia il valore del limite ma non riesco a capire perchè.
Ma per calcolare il limite originario non puoi spezzare il limite in questo modo, devi studiarlo tutto assieme.
Dato che non conosci il criterio di Raabe, potrebbe venirti in aiuto la disuguaglianza
[tex]1-3\frac{\log(n)}{n}<1-\frac{3}{n}[/tex] valida per [tex]n>2[/tex].
[tex]1-3\frac{\log(n)}{n}<1-\frac{3}{n}[/tex] valida per [tex]n>2[/tex].
io per vedere che quel limite era 0 ho usato il limite notevole ...
Non conoscevo questo limite. Ero a conoscenza di quello con il + in mezzo che tende a $e$. Comunque se vuoi fare il limite per sostituzione il numeratore deve tendere a 1 e il denominatore essere $n*sqrt(n)$ ossia visto che l'esponente non è $x$ dovresti ricondurti a $(1-(1/(x*sqrt(x))))^(x*sqrt(x))$ e non saprei come farlo.
Il criterio di Raabe non lo conosco neanche io ma mi sembra molto simile a quello del rapporto... almeno nei conti da svolgere e non sono pochi per questa serie.
In ogni caso ti consiglio di non fossilizzarti su un solo esercizio, magari facendone altri acquisisci anche piu esperienza e magari ti viene in mente il modo per risolverlo. La cosa migliore è chiedere direttamente alla/al prof. come lo avrebbe risolto lei o come voleva che venisse risolto.
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