Carattere di una serie
salve a tutti, sono alle prese con questo problema e non riesco a venirne a capo; devo determinare se questa serie e' convergente o divergente, e non so che procedura utilizzare, quali calcoli effettuare, insomma non so da dove cominciare: c'e' qualcuno che mi puo' spiegare, passo passo, cosa fare, o perlomeno darmi un link a qualche dispensa che lo spieghi?
$\sum_{n=1}^\infty (n^10*3^(n-2))/(n!)$
$\sum_{n=1}^\infty (n^10*3^(n-2))/(n!)$
Risposte
Stirling?????
perdona l'ignoranza, che significa?
e' un metodo per determinare il carattere della serie?
e' un metodo per determinare il carattere della serie?
Utilizza la formula di Stirling per l'approssimazione del fattoriale.
Usare Stirling in questo caso è un po' eccessivo, non trovate?
Basta di gran lunga il criterio del rapporto: se abbiamo una serie $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ di termine generale $a_n$ tale che $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = k$ allora se $k < 1$ la serie è convergente, se $k > 1$ la serie diverge.
In questo caso $\frac{a_{n+1}}{a_n} = ((n+1)^10 3^{n-1})/((n+1)!) \cdot (n!)/(n^10 3^{n-2}) = (1+1/n)^10 \cdot 3 / (n+1)$ il cui limite è chiaramente $0$. Quindi la serie è convergente.
Basta di gran lunga il criterio del rapporto: se abbiamo una serie $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ di termine generale $a_n$ tale che $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = k$ allora se $k < 1$ la serie è convergente, se $k > 1$ la serie diverge.
In questo caso $\frac{a_{n+1}}{a_n} = ((n+1)^10 3^{n-1})/((n+1)!) \cdot (n!)/(n^10 3^{n-2}) = (1+1/n)^10 \cdot 3 / (n+1)$ il cui limite è chiaramente $0$. Quindi la serie è convergente.
maurer ti voglio bene, grazie :°)
posso chiederti un'altra cosa? come si fa a capire quando usare il criterio di rapporto o quello della radice?
posso chiederti un'altra cosa? come si fa a capire quando usare il criterio di rapporto o quello della radice?
Mmmm... non c'è un modo standard... qui è abbastanza spontaneo provare subito con il criterio del rapporto, vista la presenza di quel fattoriale.
Il criterio della radice si può utilizzare quando compaiono tante potenze n-esime...
Comunque, se non riesci con uno, prova con l'altro: l'utilità di questi criteri è legata soprattutto al fatto che l'espressione risultante potrebbe essere più semplice da calcolare.
Il criterio della radice si può utilizzare quando compaiono tante potenze n-esime...
Comunque, se non riesci con uno, prova con l'altro: l'utilità di questi criteri è legata soprattutto al fatto che l'espressione risultante potrebbe essere più semplice da calcolare.
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