Carattere di una serie
Evvai di esame di Analisi!
$\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{sqrt(n+5)}*sin(\frac{1}{2n^2+n})$.
Determinare il carattere della serie.
Ho ragionato così:
siccome $\frac{1}{2n^2+n}$ assume valori x tali che $0
Posso quindi cercare di maggiorarla per poi sfruttare il criterio del confronto.
Ho maggiorato i vari termini così:
$n+3 \rarr n$
$sqrt(n+5) \rarr sqrt(n)$
$\frac{1}{2n^2+n} \rarr \frac{1}{2n^2}$
ho poi sviluppato il seno con Taylor una volta, ottenendo $sin(\frac{1}{2n^2+n}) \rarr sin(\frac{1}{2n^2}) \rarr \frac{1}{2n^2}+\sigma(1/n^2)$
Riscrivendo ottengo:
$\frac{n}{sqrt(n)}*\frac{1}{2n^2}$ la quale confrontata asintoticamente con $1/n^\alpha$ otteniamo:
$\frac{n^\alpha*n}{sqrt(n)*2n^2}$ la quale converge a $1/2$ per $\alpha = 3/2$. Quindi la serie converge e per il criterio del confronto asintotico, anche la serie iniziale converge.
Ho ragionato bene?
$\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{sqrt(n+5)}*sin(\frac{1}{2n^2+n})$.
Determinare il carattere della serie.
Ho ragionato così:
siccome $\frac{1}{2n^2+n}$ assume valori x tali che $0
Posso quindi cercare di maggiorarla per poi sfruttare il criterio del confronto.
Ho maggiorato i vari termini così:
$n+3 \rarr n$
$sqrt(n+5) \rarr sqrt(n)$
$\frac{1}{2n^2+n} \rarr \frac{1}{2n^2}$
ho poi sviluppato il seno con Taylor una volta, ottenendo $sin(\frac{1}{2n^2+n}) \rarr sin(\frac{1}{2n^2}) \rarr \frac{1}{2n^2}+\sigma(1/n^2)$
Riscrivendo ottengo:
$\frac{n}{sqrt(n)}*\frac{1}{2n^2}$ la quale confrontata asintoticamente con $1/n^\alpha$ otteniamo:
$\frac{n^\alpha*n}{sqrt(n)*2n^2}$ la quale converge a $1/2$ per $\alpha = 3/2$. Quindi la serie converge e per il criterio del confronto asintotico, anche la serie iniziale converge.
Ho ragionato bene?
Risposte
Sì, il ragionamento è giusto così come il risultato.
Un appunto: quando "maggiori" non dimenticare di inserire qualche costante noltiplicativa.
Infatti, mentre non è affatto vero che $\sqrt(n+5)<=\sqrt(n)$ cosicché non puoi usare il verbo "maggiorare", si può sempre determinare una costante $c_1>0$ in modo che $\sqrt(n+5)<=c_1*\sqrt(n)$ (la costante, ovviamente viene fuori dalla definizione di limite applicata al rapporto $\sqrt(n+5)/\sqrt(n)$)...
Questo appunto vale per tutte le tue "maggiorazioni".
Un appunto: quando "maggiori" non dimenticare di inserire qualche costante noltiplicativa.
Infatti, mentre non è affatto vero che $\sqrt(n+5)<=\sqrt(n)$ cosicché non puoi usare il verbo "maggiorare", si può sempre determinare una costante $c_1>0$ in modo che $\sqrt(n+5)<=c_1*\sqrt(n)$ (la costante, ovviamente viene fuori dalla definizione di limite applicata al rapporto $\sqrt(n+5)/\sqrt(n)$)...
Questo appunto vale per tutte le tue "maggiorazioni".
Grazie!
Ma non capisco una cosa: se sul compito scrivo "maggioro $sqrt(n+5)$ con $sqrtn$ è sbagliato, mentre se scrivo "l'andamento di $sqrt(n+5)$ è lo stesso di $sqrtn$ per $n \rarr +\infty$ è giusto? Alla fine entrambi i ragionamenti mi portano al solito risultato, ma tra i due c'è qualche abisso nel ragionamento? Quale dei due è sbagliato e quale è consentito?
Ma non capisco una cosa: se sul compito scrivo "maggioro $sqrt(n+5)$ con $sqrtn$ è sbagliato, mentre se scrivo "l'andamento di $sqrt(n+5)$ è lo stesso di $sqrtn$ per $n \rarr +\infty$ è giusto? Alla fine entrambi i ragionamenti mi portano al solito risultato, ma tra i due c'è qualche abisso nel ragionamento? Quale dei due è sbagliato e quale è consentito?
"Zerogwalur":
Grazie!
Ma non capisco una cosa: se sul compito scrivo "maggioro $sqrt(n+5)$ con $sqrtn$ è sbagliato, mentre se scrivo "l'andamento di $sqrt(n+5)$ è lo stesso di $sqrtn$ per $n \rarr +\infty$ è giusto? Alla fine entrambi i ragionamenti mi portano al solito risultato, ma tra i due c'è qualche abisso nel ragionamento? Quale dei due è sbagliato e quale è consentito?
"maggioro $sqrt(n+5)$ con $sqrtn$" è sbagliato perche' non si puo' maggiorare $sqrt(n+5)$ con $sqrtn$: per esempio se $n=1$ non vale $\sqrt6\leq 1$
"l'andamento di $sqrt(n+5)$ è lo stesso di $sqrt n$ per $n \rarr +\infty$" è giusto, perche' l'andamento di $sqrt(n+5)$ è lo stesso di $sqrt n$ per $n \rarr +\infty$
Quest'ultima affermazione infatti corrisponde dire che $\lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}=1$ (cosa che penso tu sia in grado di verificare)
Questo e' indipendente da cio' che tu vuoi fare di queste informazioni ai fini della convergenza delle rispettive serie .
Si giustissimo. Scusate sono ancora un po' con il cervello in corto 
"Gugo82":
Sì, il ragionamento è giusto così come il risultato.
Un appunto: quando "maggiori" non dimenticare di inserire qualche costante noltiplicativa.
Infatti, mentre non è affatto vero che $\sqrt(n+5)<=\sqrt(n)$ cosicché non puoi usare il verbo "maggiorare", si può sempre determinare una costante $c_1>0$ in modo che $\sqrt(n+5)<=c_1*\sqrt(n)$ (la costante, ovviamente viene fuori dalla definizione di limite applicata al rapporto $\sqrt(n+5)/\sqrt(n)$)...
Questo appunto vale per tutte le tue "maggiorazioni".
Credo che lui volesse minorareil denominatore per maggiorare l'intera frazione
"antani":
[quote="Gugo82"]Sì, il ragionamento è giusto così come il risultato.
Un appunto: quando "maggiori" non dimenticare di inserire qualche costante noltiplicativa.
Infatti, mentre non è affatto vero che $\sqrt(n+5)<=\sqrt(n)$ cosicché non puoi usare il verbo "maggiorare", si può sempre determinare una costante $c_1>0$ in modo che $\sqrt(n+5)<=c_1*\sqrt(n)$ (la costante, ovviamente viene fuori dalla definizione di limite applicata al rapporto $\sqrt(n+5)/\sqrt(n)$)...
Questo appunto vale per tutte le tue "maggiorazioni".
Credo che lui volesse minorareil denominatore per maggiorare l'intera frazione[/quote]
Secondo me lui aveva in mente degli andamenti asintotici - questo mi viene suggerito dal fatto che
"sostituisce" $n$ a $n+3$ (che e' a numeratore e quindi servirebbe una maggiorazione)
e sostituisce $\sqrt{n}$ a $\sqrt{n+5}$ (e qui hai ragione che lo puo' fare dato che si parla del denominatore)
Niente di male - il criterio del confronto si puo' mettere in forma asintotica.
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