Carattere di una serie
Mi dite se l'ho svolto bene??
Detemrinare il carattere di questa serie
$\sum_{k=1}^infty (1/(n * log(n^6)))$
Dunque ho provato col criterio del rapporto, quindi an+1 / an, diventando
$\lim_{n \to \infty}((n+1) * log(n+1)^6)/(n*log(n^6))$
Quindi ho separato
$(n+1)/(n) * (log(n+1)^6)/log(n^6)$ Qui uso de hopital per il limite del logaritmo
$(n+1)/(n) * 6 * 1/(n+1) * n$ = 6
Dunque diverge...giusto?
Detemrinare il carattere di questa serie
$\sum_{k=1}^infty (1/(n * log(n^6)))$
Dunque ho provato col criterio del rapporto, quindi an+1 / an, diventando
$\lim_{n \to \infty}((n+1) * log(n+1)^6)/(n*log(n^6))$
Quindi ho separato
$(n+1)/(n) * (log(n+1)^6)/log(n^6)$ Qui uso de hopital per il limite del logaritmo
$(n+1)/(n) * 6 * 1/(n+1) * n$ = 6
Dunque diverge...giusto?
Risposte
Quel limite fa $1$ (non ti converrebbe sfruttare la proprietà $\log(a^b) = b \log(|a|)$?).
Si hai ragione fa 1. Il problema è che la moltiplicazione per 6 l'ho sbagliata...è per 6/6 che = 1.
Dunque non si può stabilire il carattere della serie??
Dunque non si può stabilire il carattere della serie??
prova con il criterio di Cauchy
"Vincent":
Si hai ragione fa 1. Il problema è che la moltiplicazione per 6 l'ho sbagliata...è per 6/6 che = 1.
Dunque non si può stabilire il carattere della serie??
e solo un ipotesi non prenderla per corretta perke anch'io le sto studiando da poco
se confronti la tua serie che potrebbe convergere con la serie armonica di ordine 2
la serie ottenuta converge dunque dovrebbe convergere anche la tua
$ n^2/(n6log(n))$
quindi
$n/(6log(n)$ che credo sia un limite notevole e fa 0
Per me diverge.
Applicando il criterio di di Cauchy:
$2^n*(1/(6*2^nlog2^n)) => 1/(nlog2)$ (ho sostituito al posto di n $2^n$, e ho messo i coefficienti numerici fuori.)
quindi mi rimane solo $1/n$ che è proprio la serie armonica che diverge!
Applicando il criterio di di Cauchy:
$2^n*(1/(6*2^nlog2^n)) => 1/(nlog2)$ (ho sostituito al posto di n $2^n$, e ho messo i coefficienti numerici fuori.)
quindi mi rimane solo $1/n$ che è proprio la serie armonica che diverge!
Ciao Lorin,
non mi è chiaro come hai applicato il criterio di Cauchy...
non mi è chiaro come hai applicato il criterio di Cauchy...
Ho sostituito al posto di n $2^n$ e applicando tutte le dovute semplificazioni ho semplificato. Se qualcosa di preciso non ti è chiero magari riportami il passaggio che è meglio!
Scusate l'intromissione, ma non è tutto molto più semplice se si utilizzano le proprietà dei logaritmi?
$\sum_{n=1}^{\infty}1/(n*log(n^6))=\sum_{n=1}^{\infty}1/(6*n*log(n))$
A questo punto per il criterio del confronto $1/(6*n*log(n))\sim1/(n*log(n))$ che diverge (ad esempio lo si può vedere con il criterio integrale)...
EDIT: ho corretto il segno di $<$ che era sbagliato, ora dovrebbe essere giusto.
$\sum_{n=1}^{\infty}1/(n*log(n^6))=\sum_{n=1}^{\infty}1/(6*n*log(n))$
A questo punto per il criterio del confronto $1/(6*n*log(n))\sim1/(n*log(n))$ che diverge (ad esempio lo si può vedere con il criterio integrale)...
EDIT: ho corretto il segno di $<$ che era sbagliato, ora dovrebbe essere giusto.
si anche così. Ma io ho usato il criterio di Cauchy supponendo che quello dell'integrale l'utente non lo conoscesse.
Ciao Lorin,
sia chiaro che NON sto mettendo in dubbio quello che hai scritto, voglio solo capire.....avresti la cortesia di spiegarmi perchè sostituisci al posto di $n$ $2^n$? il criterio di Cauchy, per come lo conosco io dice:
Una serie $\sum_(n=0)^(+infty) a_n$ a valori reali è convergente se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ tale che $AA$ $n>n_\epsilon$ e per ogni $p$ in $N$ vale che $|a_(n+1)+....+a_(n+p)|<\epsilon$
Perchè lo applichi con una sostituzione? non mi è chiaro.
Grazie
sia chiaro che NON sto mettendo in dubbio quello che hai scritto, voglio solo capire.....avresti la cortesia di spiegarmi perchè sostituisci al posto di $n$ $2^n$? il criterio di Cauchy, per come lo conosco io dice:
Una serie $\sum_(n=0)^(+infty) a_n$ a valori reali è convergente se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ tale che $AA$ $n>n_\epsilon$ e per ogni $p$ in $N$ vale che $|a_(n+1)+....+a_(n+p)|<\epsilon$
Perchè lo applichi con una sostituzione? non mi è chiaro.
Grazie
Guarda a me così lo hanno spiegato all'università. Cioè come tecnica di risoluzione di alcuni tipi di serie (tipo quelle con i logaritmi al denominatore) mi hanno detto che si fa questo passaggio.
"Lorin":
$2^n*(1/(6*2^nlog2^n)) => 1/(nlog2)$ (ho sostituito al posto di n $2^n$, e ho messo i coefficienti numerici fuori.)
quindi mi rimane solo $1/n$ che è proprio la serie armonica che diverge!
Però scusa, se nella serie originaria, cioè $\sum_n 1/(n \log(n))$ (lasciando perdere il fattore $1/6$ che moltiplica), sostituisci $2^n$ a $n$ ottieni $\sum_n 1/(2^n * n \log(2))$, quindi (trascurando il fattore costante $1/log(2)$) hai a che fare con la serie $\sum_n 1/(n 2^n)$.
Invece tu ottieni $\sum_n 1/n$, e non capisco come fai a liberarti di quel $2^n$ a denominatore.
"Alexp":
Ciao Lorin,
sia chiaro che NON sto mettendo in dubbio quello che hai scritto, voglio solo capire.....avresti la cortesia di spiegarmi perchè sostituisci al posto di $n$ $2^n$? il criterio di Cauchy, per come lo conosco io dice:
Una serie $\sum_(n=0)^(+infty) a_n$ a valori reali è convergente se e solo se per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ tale che $AA$ $n>n_\epsilon$ e per ogni $p$ in $N$ vale che $|a_(n+1)+....+a_(n+p)|<\epsilon$.
Questo si chiama criterio di convergenza di Cauchy.
Credo Lorin applichi il criterio di condensazione (sempre di Cauchy): "Assegnata una serie a termini non negativi $\sum a_n$, se $\sum 2^n*a_(2n)$ converge allora pure $\sum a_n$ converge".
si grazie Gugo.
E scusate se non mi sono saputo spiegare bene, ma è una cosa che ho fatto da poco e tra poco devo dare anche un esame su questo.
Però penso che vada bene!
E scusate se non mi sono saputo spiegare bene, ma è una cosa che ho fatto da poco e tra poco devo dare anche un esame su questo.
Però penso che vada bene!
Ok...grazie "Gugo82"
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