Carattere di una serie

[itisscience]

buongiorno! devo studiare il carattere della seguente serie $ sum_(n = 1)^(+oo ) (-1)^nlogn/e^n $ . ne studio l'assoluta convergenza: $ sum_(n = 1)^(+oo )| (-1)^nlogn/e^n|=sum_(n = 1)^(+oo )logn/e^n $ ma non so come procedere

[Luca.Lussardi]

Se, come mi auguro, hai capito le risposte alle questioni poste da te in precedenza non dovresti aver problemi con questo, che è molto simile.

[itisscience]

riporto il mio svolgimento: $ sum_(n =0 )^(+oo)logn/e^n per un confronto asintotico con $ sum_(n =1 )^(+oo)1/n^2 $ , dal momento che $ lim_(n -> +oo) (n/e^n)/(1/n^2)=lim_(n -> +oo) n^3/e^n=0 $ , concludo che la serie di partenza converge

[Luca.Lussardi]

Vedi allora che lo sai fare? Solo un dettaglio: non si tratta di un confronto asintotico (si parla di quest'ultimo quando il limite che hai scritto è finito e non nullo), si tratta di un confronto, il fatto che quel limite sia 0 ti dice che per $n$ abbastanza grande $\frac{n}{e^n}$ sta sotto $\frac{1}{n^2}$, da cui la conclusione.

[itisscience]

grazie!

[Mephlip]

@Luca.Lussardi: Da quanto so, esiste una versione del criterio del confronto asintotico anche quando il limite del rapporto è $0$ o $\infty$. Se $a_n>0$ e $b_n>0$ definitivamente e $\frac{a_n}{b_n} \to 0$ per $n \to \infty$ è definitivamente $a_n \leq b_n$ e quindi, se la serie corrispondente a $b_n$ converge, si può dedurre la convergenza della serie corrispondente ad $a_n$ (e una variante simile se il limite del rapporto è $\infty$ ,per dedurre la divergenza della serie corrispondente ad $a_n$ da quella corrispondente a $b_n$).

Che ne pensi? Ti riferivi semplicemente ad una questione di nomenclatura, perché tipicamente non vengono trattati i casi $l=0$ o $l=\infty$ nell'enunciato del criterio del confronto asintotico (visto che, in effetti, due successioni si dicono asintotiche per $n\to\infty$ se il limite del loro rapporto è $1$)?

[Luca.Lussardi]

Quello che dici tu è esattamente ciò che è stato usato, semplicemente non si chiama confronto asintotico ma confronto, due quantità sono asintotiche quando il limite del rapporto è finito e non nullo.