Carattere di una serie

[itisscience]

devo studiare il carattere della serie $ sum_(n=1)^(+oo \) 1/n^3((x+2)/(x-2))^n $ al variare di $ x ∈RR $ .

allora ho posto $ y=(x+2)/(x-2) $ trovando una serie di potenze con raggio di convergenza 1.
per y>1 è convergente perchè $ 1/n^3 $ è una serie armonica generalizzata
giusto?

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

"itisscience":devo studiare il carattere della serie $ \sum_(n=1)^(+\infty) 1/n^3((x+2)/(x-2))^2 $ al variare di $x \in \RR $.

Credo che ci sia un errore, perché così la parte con $x$ non dipende da $n$ ed ovviamente si può scrivere:

$ \sum_(n=1)^(+\infty) 1/n^3((x+2)/(x-2))^2 = ((x+2)/(x-2))^2 \sum_(n=1)^(+\infty) 1/n^3 = ((x+2)/(x-2))^2 \zeta(3) $

[itisscience]

mi scuso per l'errore, ho corretto

[pilloeffe]

"itisscience":per y>1 è convergente perchè $1/n^3 $ è una serie armonica generalizzata giusto?

No. La serie proposta dopo la correzione

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^3 ((x+2)/(x-2))^n $

converge se $|y| \le 1 \iff |(x + 2)/(x - 2)| \le 1 \iff x \le 0 $

[itisscience]

allora che il raggio di convergenza della serie di potenzia sia 1 l'ho ricavato col criterio del rapporto: $ lim_(n -> +oo) |(n/(n+1))^3|=1 $ il che mi garantisce la convergenza per ogni $ |y|<1 $ .
vedo però che tu hai messo " $ <= $ " ma se $ y=1 $ allora $ sum_(n =1) ^(+oo)1/n^3*1 $ .. scusami se continuo a non capire

[pilloeffe]

Beh, ho scritto $|y| \le 1 \iff x <= 0 $ perché si vede subito che per $ x = 0 $ si ha $\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n/n^3 $ che è assolutamente convergente, dato che la serie assoluta è $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^3 $, che è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3 > 1 $