Carattere di una serie
Buongiorno. Ho questa serie:
$sum 3^(n-1)/((3n+1)!)+((n+2)/(n+3))^(n^2) $
Per studiare il carattere, ho ragionato così:
$sum 3^(n-1)/((3n+1)!)+((n+2)/(n+3))^(n^2)<= sum 3^(n-1)/((3n+1)!)=1/3sum3^n/((3n+1)!)=1/3sum3^n/(n(3n)!) $
Ora applico il criterio del rapporto e ottengo:
$lim_(nto+oo) (3^(n+1)/(((3n+3)!) (n+1))) ((3n)! n)/3^n=lim_n(3(3n!)n)/((3n!)(n+1)^2(n+2))=lim_n3n/((n+1)^2(n+2))=0$
Poiché quindi $sum3^n/(n(3n)!) $ converge, anche la serie di partenza converge. Si può procedere così? Ci sono errori?
$sum 3^(n-1)/((3n+1)!)+((n+2)/(n+3))^(n^2) $
Per studiare il carattere, ho ragionato così:
$sum 3^(n-1)/((3n+1)!)+((n+2)/(n+3))^(n^2)<= sum 3^(n-1)/((3n+1)!)=1/3sum3^n/((3n+1)!)=1/3sum3^n/(n(3n)!) $
Ora applico il criterio del rapporto e ottengo:
$lim_(nto+oo) (3^(n+1)/(((3n+3)!) (n+1))) ((3n)! n)/3^n=lim_n(3(3n!)n)/((3n!)(n+1)^2(n+2))=lim_n3n/((n+1)^2(n+2))=0$
Poiché quindi $sum3^n/(n(3n)!) $ converge, anche la serie di partenza converge. Si può procedere così? Ci sono errori?
Risposte
Ciao _ester_,
No. Se però la serie proposta è quella che immagino sia, trattandosi di termini tutti positivi si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+infty} [3^(n-1)/((3n+1)!)+((n+2)/(n+3))^(n^2)] = \sum_{n = 1}^{+infty} 3^(n-1)/((3n+1)!) + \sum_{n = 1}^{+infty} ((n+2)/(n+3))^(n^2) $
Poi userei il criterio del rapporto per la prima serie, il criterio della radice per la seconda: si trova che entrambe sono convergenti, pertanto lo è anche la serie proposta.
"_ester_":
Si può procedere così?
No. Se però la serie proposta è quella che immagino sia, trattandosi di termini tutti positivi si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+infty} [3^(n-1)/((3n+1)!)+((n+2)/(n+3))^(n^2)] = \sum_{n = 1}^{+infty} 3^(n-1)/((3n+1)!) + \sum_{n = 1}^{+infty} ((n+2)/(n+3))^(n^2) $
Poi userei il criterio del rapporto per la prima serie, il criterio della radice per la seconda: si trova che entrambe sono convergenti, pertanto lo è anche la serie proposta.
Grazie della risposta. Quando scrivi questo:
intendi che mancava la parentesi della sommatoria?
E un'altra cosa, perché non si può osservare che la serie di partenza è maggiore di $sum 3^(n-1)/((3n+1)!) $ visto che a quest'ultima serie aggiungo una quantità positiva?
"pilloeffe":
Se però la serie proposta è quella che immagino sia,
intendi che mancava la parentesi della sommatoria?
E un'altra cosa, perché non si può osservare che la serie di partenza è maggiore di $sum 3^(n-1)/((3n+1)!) $ visto che a quest'ultima serie aggiungo una quantità positiva?
"_ester_":
perché non si può osservare che la serie di partenza è maggiore di [...]
Questo si può osservare, ma non è ciò che hai scritto nell'OP...
Ok, ho invertito il verso della disuguaglianza per distrazione...
Quindi il problema è che il mio procedimento non porta a niente perché la convergenza della seconda serie non è indicativa in questo caso, giusto?
Quindi il problema è che il mio procedimento non porta a niente perché la convergenza della seconda serie non è indicativa in questo caso, giusto?
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