Carattere di una serie

[domenico-fiamma-8]

Determinare al variare del parametro $\alpha$ > 0 il carattere della seguente serie :

$\sum_{n=0}^\infty\ n*log^(2) (1+ 1/(n^alpha))$

Non so proprio da dove iniziare, non riesco a capire cosa c'entri la variazione di alfa. Aiuti?

[cooper1]

si basa tutto sulla variazione di $alpha$. lo strumento che usiamo sarà il criterio del confronto asintotico. in particolare sappiamo che $log(1+epsilon_n) ~ epsilon_n$ dove $epsilon_n$ è un infinitesimo. nel nostro caso $epsilon_n = 1/n^(alpha)$.
il termine generale della serie di partenza è quindi asintotico a $1/(n^(alpha -1))$.
per confronto con la serie armonica generalizzata abbiamo che questa serie converge se e solo se $alpha -1 > 1$ quindi se e solo se $alpha > 2$.

[domenico-fiamma-8]

"cooper":si basa tutto sulla variazione di $alpha$. lo strumento che usiamo sarà il criterio del confronto asintotico. in particolare sappiamo che $log(1+epsilon_n) ~ epsilon_n$ dove $epsilon_n$ è un infinitesimo. nel nostro caso $epsilon_n = 1/n^(alpha)$.
il termine generale della serie di partenza è quindi asintotico a $1/(n^(alpha -1))$.
per confronto con la serie armonica generalizzata abbiamo che questa serie converge se e solo se $alpha -1 > 1$ quindi se e solo se $alpha > 2$.

Ok grazie mille, più o meno credo di aver capito solo che ho alcuni dubbi :

-Bisogna sempre utilizzare il metodo del criterio asintotico in questi casi oppure posso utilizzare anche gli altri?
-Quindi la serie converge se e solo se $\alpha$ è maggiore di 2, mentre per quando è compresa tra 0 e 2?

[cooper1]

"Domeniko98":-Bisogna sempre utilizzare il metodo del criterio asintotico in questi casi oppure posso utilizzare anche gli altri?

usi il criterio che fa più comodo qui è praticamente immediato con quello asintotico! in generale per studiare il comportamento di una serie numerica puoi rifarti tranquillamente a questo schema:

i modi per studiare serie a segni alterni sono due:
1. il criterio di Leibnitz
2. studiare la serie dei moduli:
se la serie dei moduli converge assolutamente allora anche la serie di partenza converge assolutamente (convergenza assoluta implica convergenza semplice);
se la serie dei moduli diverge assolutamente nulla si può dire sulla serie di partenza

per serie a termini positivi la serie di partenza e quella dei moduli sono la stessa cosa, proprio per la definizione di modulo. i criteri per studiare la convergenza di queste serie sono i consueti: radice, confronto, confronto asintotico, rapporto.

se una serie è a termini negativi (o definitivamente negativa) non cambia nulla rispetto a quelle positive, basta infatti raccogliere un meno e portarlo fuori dalla sommatoria. a questo punto hai una serie a termini positivi.

"Domeniko98":-Quindi la serie converge se e solo se α è maggiore di 2, mentre per quando è compresa tra 0 e 2?

una serie a segno costante (positiva o negativa che sia) non può essere irregolare, essa perciò dovrà necessariamente convergere o divergere.
detto ciò per $0 < alpha <= 2$ la serie diverge mentre per $alpha > 2$ converge.

[domenico-fiamma-8]

Grazie mille, mi sei stato molto d'aiuto!

[cooper1]

figurati, sono felice di essere stato d'aiuto

[Ziben]

Ciao,
scusate se mi intrometto. Ho un dubbio:
io ho scritto:

$nlog^2(1+1/n^\alpha) = log(1+1/n^\alpha)/(1/n^\alpha)*log(1+1/n^\alpha)/(1/n^\alpha)*1/n^(2\alpha-1)$

quindi mi risulta che converge per $2\alpha-1>1$ cioè $\alpha>1$

Ho sbagliato?

[cooper1]

ovviamente no non sbagli! mi sono perso io per strada l'elevamento al quadrato del logaritmo. grazie per la correzione!