Carattere di una Serie

[Havana92]

qualcuno sa come determinare il carattere di questa serie?
$((2n+1)!)/(n^(2n))$
Ve ne sarei davvero grato!

[Berationalgetreal]

Osserva che

\[ (2n +1)! = ( 2n +1)(2n)! \]

E che per la formula di Stirling, per $ x \to + \infty$,

\[ (2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left ( \frac{2n}{e} \right)^{2n} = n^{2n} \cdot \left ( \frac{2(4\pi n)^{\frac{1}{4n}}}{e} \right )^{2n} \]

[taurus85]

a mio avviso non è necessario lo stirling (2n+1)!$=$ 2n! , 2n!/(n^(2n)), l' infinito di (n^(2n)) è piu veloce dell' infinito di 2n! quindi risulta 1/(n^(2n)) che converge...... secondo me.....

[Berationalgetreal]

"taurus85":a mio avviso non è necessario lo stirling (2n+1)!$ = $ 2n! , 2n!/(n^(2n)), l' infinito di (n^(2n)) è piu veloce dell' infinito di 2n! quindi risulta 1/(n^(2n)) che converge...... secondo me.....

In base al tuo ragionamento, convergerebbe anche la serie armonica. Ti ricordo che il termine generale infinitesimo è una condizione necessaria ma non sufficiente. Inoltre, le tue stime non sono corrette:

\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{[2n +1]!}{[2n]!}} = \lim_{n \to + \infty}{\frac{[2n + 1] \cancel{[2n]!}}{\cancel{[2n]!}}} = + \infty \]

[taurus85]

scusa n^(2n) non è al denominatore ?

[taurus85]

"Berationalgetreal":[quote="taurus85"]a mio avviso non è necessario lo stirling (2n+1)!$ = $ 2n! , 2n!/(n^(2n)), l' infinito di (n^(2n)) è piu veloce dell' infinito di 2n! quindi risulta 1/(n^(2n)) che converge...... secondo me.....

In base al tuo ragionamento, convergerebbe anche la serie armonica. Ti ricordo che il termine generale infinitesimo è una condizione necessaria ma non sufficiente. Inoltre, le tue stime non sono corrette:

\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{[2n +1]!}{[2n]!}} = \lim_{n \to + \infty}{\frac{[2n + 1] \cancel{[2n]!}}{\cancel{[2n]!}}} = + \infty \][/quote]
se fosse stata solo 2n!/(n^(2n)) ?

[Berationalgetreal]

"taurus85":[quote="Berationalgetreal"][quote="taurus85"]a mio avviso non è necessario lo stirling (2n+1)!$ = $ 2n! , 2n!/(n^(2n)), l' infinito di (n^(2n)) è piu veloce dell' infinito di 2n! quindi risulta 1/(n^(2n)) che converge...... secondo me.....

In base al tuo ragionamento, convergerebbe anche la serie armonica. Ti ricordo che il termine generale infinitesimo è una condizione necessaria ma non sufficiente. Inoltre, le tue stime non sono corrette:

\[ \lim_{n \to + \infty} {\frac{[2n +1]!}{[2n]!}} = \lim_{n \to + \infty}{\frac{[2n + 1] \cancel{[2n]!}}{\cancel{[2n]!}}} = + \infty \][/quote]
se fosse stata solo 2n!/(n^(2n)) ?[/quote]

Qual'è la domanda? Il criterio necessario di convergenza non è sufficiente per alcuna serie.

Una volta scomposto il termine generico usando Stirling, o quello che ti pare, l'importante è che sia matematicamente e teoricamente corretto, usi il criterio della radice:

\[ \lim_{n \to + \infty} { \sqrt [n] { \frac{ \cancel{ n^{2n}} \cdot (2n + 1) \cdot \left ( \frac{2(4\pi n)^{\frac{1}{4n}}}{e} \right )^{2n}}{\cancel{n^{2n}}}}} = \frac{4}{e^2} < 1 \implies la \ serie \ converge\]