Carattere di una Serie

[Havana92]

Ragazzi qualcuno sa come studiare il carattere di questa serie?

$\sum_{n=1}^(\infty) [(2^n +4^n)*sin(1/3^n)]/(n! +4^n)$

Dovrebbe essere convergente ma non so che criterio usare e come applicarlo.. Vi ringrazio

[Alegomind]

Cerchiamo di semplificarla un pochino:

$2^n+4^n=2^n(1+2^n)$

dopo di che, usiamo il criterio del confronto asintotico:

$ lim_(n->+oo) ( [(2^n(1+2^n))*sin(1/3^n)]/(n! +4^n))/([(2^n(1+2^n))*(1/3^n)]/(n! +4^n))=1$

Pertanto ha lo stesso comportamento della serie:

$sum [(2^n(1+2^n))*(1/3^n)]/(n! +4^n) $

A questo punto applicando il criterio del rapporto non dovresti incontrare grandi difficoltà

[Havana92]

Ti ringrazio sei un grande!

[Alegomind]

"Havana9":Ti ringrazio sei un grande!

Di nulla, dicci se sei riuscito ad ottenere il risultato sperato, altrimenti proviamo a vederla insieme

[Havana92]

Si il limite fa 0. 0<1 serie convergente. Grazie

[taurus85]

a mio avviso il carattere della serie è facilmente studiabile facendo un semplice confronto fra infiniti , prima di tutto sin(1/3^n)$=$ 1/3^n, 2^n+4^n $=$ 4^n in quanto l' infinito di 4^n è piu veloce dell' infinito di 2^n quindi rimane (4/3)^n al denominatore l' infinito di n! è piu veloce dell' infinito di 4^n quindi rimane n!, la ragione della serie si riduce a (4/3)^n/n!, n! domina su (4/3)*n quindi rimane 1/n! che converge in quanto 1/n^2 converge e l' infinito di n! è piu veloce......