Carattere di una serie
Ho qualche dubbio riguardo all'applicazione del criterio del confronto asintotico e, in particolare, riguardo alla "manipolazione" del termine generale della serie, affinché tale applicazione abbia successo. Mi spiego meglio.
Devo ricercare il carattere della seguente serie:
$\sum_{k=1}^oo ((k^2 + 1)e^(1/k) - k^2)/(k - sqrt(1 + k))$
Per $k \to oo$ il termine generale della serie tende a $0$:
$lim_(k->oo) ((k^2 + 1)e^(1/k) - k^2)/(k - sqrt(1 + k)) = lim_(k->oo) 1/(k(1 - sqrt((1 + k)/ k^2))$ $= 0$
A questo punto confronto asintoticamente il termine generale della serie così riarrangiato con la serie armonica:
$lim_(k->oo) (1/(k(1 - sqrt((1 + k)/ k^2)))/(1/k)) = 1$
La serie di partenza dovrebbe quindi divergere.
Per favore, potreste dirmi se i passaggi sono corretti e se il riarrangiamento del termine generale è lecito. Ho l'impressione di essere troppo frettoloso.
Grazie
Devo ricercare il carattere della seguente serie:
$\sum_{k=1}^oo ((k^2 + 1)e^(1/k) - k^2)/(k - sqrt(1 + k))$
Per $k \to oo$ il termine generale della serie tende a $0$:
$lim_(k->oo) ((k^2 + 1)e^(1/k) - k^2)/(k - sqrt(1 + k)) = lim_(k->oo) 1/(k(1 - sqrt((1 + k)/ k^2))$ $= 0$
A questo punto confronto asintoticamente il termine generale della serie così riarrangiato con la serie armonica:
$lim_(k->oo) (1/(k(1 - sqrt((1 + k)/ k^2)))/(1/k)) = 1$
La serie di partenza dovrebbe quindi divergere.
Per favore, potreste dirmi se i passaggi sono corretti e se il riarrangiamento del termine generale è lecito. Ho l'impressione di essere troppo frettoloso.
Grazie
Risposte
io però non ho capito che fine abbia fatto il termine $e^(1/k)$
io ho fatto i seguenti passaggi
$((k^2(e^(1/k)-1)+e^(1/k))/(k-sqrt(1+k))=(k(e^(1/k)-1)/(1/k)+e^(1/k))/(k-sqrt(1+k))$
che ha come limite $1$ per $k rarr +infty$
la serie diverge perchè non è verificata la condizione necessaria di convergenza
io ho fatto i seguenti passaggi
$((k^2(e^(1/k)-1)+e^(1/k))/(k-sqrt(1+k))=(k(e^(1/k)-1)/(1/k)+e^(1/k))/(k-sqrt(1+k))$
che ha come limite $1$ per $k rarr +infty$
la serie diverge perchè non è verificata la condizione necessaria di convergenza
Non riuscendo a capire come risolvere il limite e visto che $e^(1/k) -> 1$ per $k->oo$, ho pensato che forse potevo evitare di considerarlo... 
Comunque grazie mille.
Non è che mi aiuteresti anche con questo limite?
$lim_(k->oo) (k!)/k^(k-1)$
Ho già verificato con il criterio del rapporto che la serie $sum_{k=1}^oo (k!)/k^(k-1)$ converge.
Ho pensato che il denominatore è un infinito di ordine maggiore del numeratore, ma temo che l'esponente $k - 1$ possa "intaccare" l'ordine di infinito.
Comunque grazie mille.
Non è che mi aiuteresti anche con questo limite?
$lim_(k->oo) (k!)/k^(k-1)$
Ho già verificato con il criterio del rapporto che la serie $sum_{k=1}^oo (k!)/k^(k-1)$ converge.
Ho pensato che il denominatore è un infinito di ordine maggiore del numeratore, ma temo che l'esponente $k - 1$ possa "intaccare" l'ordine di infinito.
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