Carattere di $sum_(n=1)^(+infty) cos(n)/n sin(1/n^k)$ al variare di k>0

[clivend]

One more

Studiare il carattere di $sum_(n=1)^(+infty) cos(n)/n sin(1/n^k)$ al variare di k>0

Pensavo di usare il criterio del confronto, ma non posso dire che la serie è a termini positivi a causa dei valori che assume il coseno. Considero la serie dei valori assoluti $sum_(n=1)^(+infty) |cos(n)/n sin(1/n^k)|$

a) Per $k>1$

$lim_(n+infty) |(cos(n)/n sin(1/n^k))/(1/n^k)|=lim_(n+infty) |(1/n)cos(n)*1|$ sfruttando il limite notevole $lim_(n+infty) (sin(1/n^k))/(1/n^k)=1$
Inoltre $(1/n)$ tende a 0 e $cos(n)$ è indefinito per n->infinito

La serie armonica qui è convergente, e visto che il limite da valore 0 segue che anche la serie dei valori assoluti converge, quindi la nostra serie è assolutamente convergente -> è anche convergente

b) Per $k<=1$ farei lo stesso ragionamento, ma stavolta la serie armonica è divergente e non so quali conclusioni trarre...

[stormy1]

a me sembra che la serie dei valori assoluti sia maggiorata dalla serie di termine generale $1/(n^(k+1))$ ,che è convergente per ogni $k>0$

[Tatasala]

È divergente. $1/n^k$ è la serie armonica generalizzata che per $ k> 0$ è divergente.

[Lemniscata1]

"Tatasala":È divergente. $1/n^k$ è la serie armonica generalizzata che per $ k> 0$ è divergente.

Non direi, devi imporre anche che sia $k<=1$ per avere la divergenza. Per $k>1$ dovrebbe convergere. Analisti dite la vostra please