Carattere di serie numeriche
Buonasera a tutti, dovrei discutere il carattere delle seguenti serie con il criterio dell'infinitesimo:
1) $sum_{n=2}^{+infty} \frac{1}{n^2 \log n}$ 2) $sum_{n=2}^{+infty} \frac{1}{\sqrt{n} \log n}$ 3) $sum_{n=1}^{+infty} \sin(1/n^3)$
Per la 1) : $\frac{n^\alpha}{n^2 log(n)}=\frac{n^{\alpha-2}}{log n}$
Avevo pensato $\alpha=2$ ma il limite è 0! E non va bene! Come si procede?
Per la 2) : $\frac{n^\alpha}{sqrt{2} log(n)}=\frac{n^{\alpha-\frac{1}{2}}}{log n}$
Anche qui avevo pensato a $\alpha=\frac{1}{2}$, ma ho lo stesso problema!
Mentre per la 3) con $\alpha=3$ ottengo il limite notevole che va a 1 e quindi la serie converge. Giusto?
1) $sum_{n=2}^{+infty} \frac{1}{n^2 \log n}$ 2) $sum_{n=2}^{+infty} \frac{1}{\sqrt{n} \log n}$ 3) $sum_{n=1}^{+infty} \sin(1/n^3)$
Per la 1) : $\frac{n^\alpha}{n^2 log(n)}=\frac{n^{\alpha-2}}{log n}$
Avevo pensato $\alpha=2$ ma il limite è 0! E non va bene! Come si procede?
Per la 2) : $\frac{n^\alpha}{sqrt{2} log(n)}=\frac{n^{\alpha-\frac{1}{2}}}{log n}$
Anche qui avevo pensato a $\alpha=\frac{1}{2}$, ma ho lo stesso problema!
Mentre per la 3) con $\alpha=3$ ottengo il limite notevole che va a 1 e quindi la serie converge. Giusto?
Risposte
Per la prima l'ordine di infinitesimo è certamente 2 poiché va a zero come $ 1/x^2 $
La seconda va a zero come $ 1/x^(1/2 $
E la terza come $ 1/n^3 $
La seconda va a zero come $ 1/x^(1/2 $
E la terza come $ 1/n^3 $
@Lucacs: Non è vero che la prima e la seconda vanno a zero come $\frac{1}{x^2}$ e come $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}$, i logaritmi non sono sommati ma sono moltiplicati e quindi non puoi trascurarli così.
Secondo questo ragionamento allora $\frac{1}{n \ln^2 n}$ andrebbe come $\frac{1}{n}$ che diverge, mentre la serie di $\frac{1}{n \ln^2 n}$ converge.
Secondo questo ragionamento allora $\frac{1}{n \ln^2 n}$ andrebbe come $\frac{1}{n}$ che diverge, mentre la serie di $\frac{1}{n \ln^2 n}$ converge.
Intendevo le funzioni, poi è chiaro che se hai $n<=1$ come esponente del logaritmo la convergenza dipende non da quello
Quindi la seconda non converge
Per correttezza dovresti scrivere $ 1/(nlog(n) $ Asintotico a $ 1/(n^(1+ ε) $ con $ε$ più piccolo sicuramente di 1
Quindi la seconda non converge
Per correttezza dovresti scrivere $ 1/(nlog(n) $ Asintotico a $ 1/(n^(1+ ε) $ con $ε$ più piccolo sicuramente di 1
@amalia.caggiano: Non è un problema se il limite è $0$, perché se $\frac{a_n}{b_n} \to 0$ per $n \to \infty$ significa che definitivamente $\frac{a_n}{b_n} < 1$; se le successioni $a_n$ e $b_n$ sono positive allora segue che $a_n < b_n$ definitivamente (che poi sono le ipotesi del criterio del confronto asintotico).
Pertanto se nella prima serie poni, come hai già fatto, $\alpha=2$ ottenendo $a_n=n^2$, si ha per $n \to \infty$
$\frac{n^2}{n^2 \ln n} = \frac{1}{\ln n} \to 0 \Rightarrow \frac{n^2}{n^2 \ln n} < 1 \ \text{definitivamente} \Rightarrow \frac{1}{n^2 \ln n} < \frac{1}{n^2} \ \text{definitivamente}$
E come concludi?
Similmente concludi con l'altra considerando $\alpha=\frac{1}{2}$ e leggendo la disuguaglianza $\frac{a_n}{b_n} < 1$ definitivamente "da destra verso sinistra".
@Lucacs: Personalmente ho capito diversamente da quello che c'era scritto nel tuo primo messaggio, comunque l'importante è chiarire i fraintendimenti!
Edit: Corretto un typo, avevo scritto erroneamente $\alpha=\frac{1}{n}$ anziché $\alpha=\frac{1}{2}$.
Pertanto se nella prima serie poni, come hai già fatto, $\alpha=2$ ottenendo $a_n=n^2$, si ha per $n \to \infty$
$\frac{n^2}{n^2 \ln n} = \frac{1}{\ln n} \to 0 \Rightarrow \frac{n^2}{n^2 \ln n} < 1 \ \text{definitivamente} \Rightarrow \frac{1}{n^2 \ln n} < \frac{1}{n^2} \ \text{definitivamente}$
E come concludi?
Similmente concludi con l'altra considerando $\alpha=\frac{1}{2}$ e leggendo la disuguaglianza $\frac{a_n}{b_n} < 1$ definitivamente "da destra verso sinistra".
@Lucacs: Personalmente ho capito diversamente da quello che c'era scritto nel tuo primo messaggio, comunque l'importante è chiarire i fraintendimenti!
Edit: Corretto un typo, avevo scritto erroneamente $\alpha=\frac{1}{n}$ anziché $\alpha=\frac{1}{2}$.
Scusate ma, che cosa intendete per "asintotico a ..."? Ve lo chiedo perché:
Insomma, non mi sembra che quelle due successioni siano infinitesime dello stesso ordine.
$AA \epsilon in RR^+$
$lim_(n->+oo)(1/n^(1+\epsilon))/(1/(nlogn))=lim_(n->+oo)logn/n^\epsilon=0$
Insomma, non mi sembra che quelle due successioni siano infinitesime dello stesso ordine.
Da quel che so $a_n$ è asintotica a $b_n$ se
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=1$$
Infatti non sono d'accordo con i post precedenti.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=1$$
Infatti non sono d'accordo con i post precedenti.
Concordo. Al limite:
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=l ne 0$
Evidentemente $ ε=ε_n$ è una successione
$0<ε_n<1$ per $n>=n_0$
$0<ε_n<1$ per $n>=n_0$
Io dovrei utilizzare il criterio dell'ordine d'infinitesimo, che la prof ha così enunciato:
sia $sum_{n=0}^{+infty}a_n$ una serie a termini positivi t.c. esiste $\alpha>0$ per cui esiste $\lim_n n^{\alpha}a_n=l \in (0, +infty)$ allora
se $\alpha>1$ la serie converge
se $\alpha<=1$ la serie diverge positivamente
Da ciò si evince che $l$ non può essere zero!
sia $sum_{n=0}^{+infty}a_n$ una serie a termini positivi t.c. esiste $\alpha>0$ per cui esiste $\lim_n n^{\alpha}a_n=l \in (0, +infty)$ allora
se $\alpha>1$ la serie converge
se $\alpha<=1$ la serie diverge positivamente
Da ciò si evince che $l$ non può essere zero!
Allora quello che ti ho scritto al primo post va bene... con un po' di fatica
"Lucacs":
Allora quello che ti ho scritto al primo post va bene... con un po' di fatica
Dai, non scherziamo. Insomma, non si può fare tutta questa confusione in merito a esercizi piuttosto banali.
"amalia.caggiano":
Io dovrei utilizzare il criterio ...
Intanto, più in generale:
Caso 1
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=0$
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ converge $rarr \sum_{n=1}^{+oo}a_n$ converge
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ diverge $rarr \sum_{n=1}^{+oo}a_n$ nulla si può dire
Caso 2
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=l ne 0$
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ converge $rarr \sum_{n=1}^{+oo}a_n$ converge
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ diverge $rarr \sum_{n=1}^{+oo}a_n$ diverge
Caso 3
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=+oo$
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ converge $rarr \sum_{n=1}^{+oo}a_n$ nulla si può dire
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ diverge $rarr \sum_{n=1}^{+oo}a_n$ diverge
Inoltre, il criterio di cui parli altro non è che il caso 2 relativo alla serie di confronto $\sum_{n=1}^{+oo}b_n$ sottostante:
$\alpha gt 1 rarr \sum_{n=1}^{+oo}1/n^(\alpha)$ converge
$\alpha lt= 1 rarr \sum_{n=1}^{+oo}1/n^(\alpha)$ diverge
"amalia.caggiano":
Da ciò si evince che $l$ non può essere zero!
Come puoi osservare, anche il caso 1 ha un qualche significato.
P.S.
Serie 1
$\sum_{n=1}^{+oo}1/(n^2logn)$
Serie di confronto (caso 1)
$\sum_{n=1}^{+oo}1/n^2$
Serie 2
$\sum_{n=1}^{+oo}1/(sqrtnlogn)$
Serie di confronto (caso 3)
$[\sum_{n=1}^{+oo}1/n^(1/2+\epsilon)] ^^ [0 lt \epsilon lt= 1/2]$
Serie 3
$\sum_{n=1}^{+oo}sin(1/(n^3))$
Serie di confronto (caso 2)
$\sum_{n=1}^{+oo}1/n^3$
Grazie per la spiegazione, quindi la 1) e la 3) convergono e la 2) diverge.
Visto che il criterio che dovevo usare per tutte e 3 era quello dell'ordine d'infinitesimo, mi sembrava strano!
La prima e la seconda non ricadono in questo caso particolare, quindi si usa il criterio del confronto asintotico.
Non capisco solo perchè nella 2) cadiamo nel caso 3, perchè il lim è infinito? Per il confronto tra infiniti?
$n^{\alpha}a_n=\frac{n^{\alpha-\frac{1}{2}}}{log(n)}$
Se prendo $\alpha=\frac{1}{2}+\epsilon$, allora ho $\frac{n^\epsilon}{log(n)}$ tende a $+infty$ per confronto tra infiniti?
Visto che il criterio che dovevo usare per tutte e 3 era quello dell'ordine d'infinitesimo, mi sembrava strano!
La prima e la seconda non ricadono in questo caso particolare, quindi si usa il criterio del confronto asintotico.
Non capisco solo perchè nella 2) cadiamo nel caso 3, perchè il lim è infinito? Per il confronto tra infiniti?
$n^{\alpha}a_n=\frac{n^{\alpha-\frac{1}{2}}}{log(n)}$
Se prendo $\alpha=\frac{1}{2}+\epsilon$, allora ho $\frac{n^\epsilon}{log(n)}$ tende a $+infty$ per confronto tra infiniti?
Quella $ ξ $ non è un numero ma una successione, è quel limite tende a 1.
È non serve calcolarlo, lo vedi, poiché il log alla potenza 1 non va come $ n^1 $
In sostanza è la tua $ a_n $ asintoticoa a $ log(n) $
mentre $ (log(n)) ^2 $ tende a $ n $
È non serve calcolarlo, lo vedi, poiché il log alla potenza 1 non va come $ n^1 $
In sostanza è la tua $ a_n $ asintoticoa a $ log(n) $
mentre $ (log(n)) ^2 $ tende a $ n $
"anonymous_0b37e9":
...
Serie 2
$\sum_{n=1}^{+oo}1/(sqrtnlogn)$
Serie di confronto (caso 3)
$[\sum_{n=1}^{+oo}1/n^(1/2+\epsilon)] ^^ [0 lt \epsilon lt= 1/2]$
...
Ma da qui si evince che $\epsilon$ è un numero!!
Non ci sto capendo niente
Ma non lo è è non può esserlo, visto che $ log(n) $ è una funzione
"amalia.caggiano":
... quindi la 1) e la 3) convergono e la 2) diverge.
Ok.
"amalia.caggiano":
Visto che il criterio che dovevo usare per tutte e 3 era quello dell'ordine d'infinitesimo, mi sembrava strano! La prima e la seconda non ricadono in questo caso particolare, quindi si usa il criterio del confronto asintotico.
Non mi sembra rilevante. Probabilmente solo una questione di nomi.
"amalia.caggiano":
Non capisco solo perché ...
Poiché condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una serie converga è che il termine ennesimo tenda a zero, insomma, sia un infinitesimo, non si tratta di un confronto tra infiniti, piuttosto, di un confronto tra infinitesimi. Per quanto riguarda la seconda serie, se si riesce a determinare una serie di confronto divergente:
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$
tale che:
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=+oo$
anche la serie da studiare:
$\sum_{n=1}^{+oo}a_n$
non può che essere divergente, visto che il suo termine ennesimo $a_n$ tende a zero "meno velocemente" di quanto tenda a zero $b_n$. Ebbene, esistono infinite serie di confronto che permettono di concludere che la serie da studiare è divergente:
$[\sum_{n=1}^{+oo}1/n^(1/2+\epsilon)] ^^ [0 lt \epsilon lt= 1/2]$
visto che:
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=+oo$
per ogni $0 lt \epsilon lt= 1/2$. Se poi, per semplicità, si decide di procedere, per esempio, solo con:
$[\epsilon=1/2] rarr [\sum_{n=1}^{+oo}1/n]$
liberi di farlo. Insomma, ho scomodato $\epsilon$ solo per completezza.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda la seconda serie, se si riesce a determinare una serie di confronto divergente:
$\sum_{n=1}^{+oo}b_n$
tale che:
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=+oo$
anche la serie da studiare:
$\sum_{n=1}^{+oo}a_n$
non può che essere divergente
Ho capito, ma:
$lim_(n->+oo)a_n/b_n=lim_(n->+oo) \frac{n^{\frac{1}{2}+\epsilon}}{log(n)}$
Ecco perchè ho parlato di confronto tra infiniti, il numeratore va più velocemente all'infinito rispetto al denominatore, ecco perchè il limite viene $+oo$.
E' così?
Veramente, dovrebbe essere:
Ad ogni modo, non bisognerebbe stupirsi che, nel confronto tra infinitesimi, sia necessario risolvere un limite adottando le tecniche di confronto tra infiniti:
Insomma, non capisco quale sia il problema.
Per forza.
$lim_(n->+oo)n^\epsilon/logn=+oo$
Ad ogni modo, non bisognerebbe stupirsi che, nel confronto tra infinitesimi, sia necessario risolvere un limite adottando le tecniche di confronto tra infiniti:
$lim_(n->+oo)(1/(sqrtnlogn))/(1/n^(1/2+\epsilon))=lim_(n->+oo)n^\epsilon/logn=+oo$
Insomma, non capisco quale sia il problema.
"amalia.caggiano":
E' così?
Per forza.
"anonymous_0b37e9":
Veramente, dovrebbe essere:
$lim_(n->+oo)n^\epsilon/logn=+oo$
Ad ogni modo, non bisognerebbe stupirsi che, nel confronto tra infinitesimi, sia necessario risolvere un limite adottando le tecniche di confronto tra infiniti:
$lim_(n->+oo)(1/(sqrtnlogn))/(1/n^(1/2+\epsilon))=lim_(n->+oo)n^\epsilon/logn=+oo$
Insomma, non capisco quale sia il problema.
[quote="amalia.caggiano"]
E' così?
Per forza.[/quote]
Perfetto, grazie!
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