Carattere di due serie numeriche
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{n}(1-\cos(\frac{1}{n}))[/tex]
Dovrebbe essere una serie a termini di segno variabili, ho pensato che forse si può fare una minorazione.
[tex]|\sqrt{n}(1-\cos(\frac{1}{n}))|\geq|\cos(\frac{1}{n})|[/tex]
La serie minorante non verifica la condizione necessaria alla convergenza delle serie, dunque per il criterio del confronto la serie di partenza dovrebbe divergere positivamente.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\arctan(\frac{n+1}{n^3})[/tex]
Anche questa dovrebbe essere a segni variabili.
[tex]|\frac{1}{n}\arctan(\frac{n+1}{n^3})|\geq |\frac{1}{n}|[/tex]
La seconda è la serie armonica che diverge positivamente e dunque per il criterio del confronto anche la prima.
Vi risulta?
Dovrebbe essere una serie a termini di segno variabili, ho pensato che forse si può fare una minorazione.
[tex]|\sqrt{n}(1-\cos(\frac{1}{n}))|\geq|\cos(\frac{1}{n})|[/tex]
La serie minorante non verifica la condizione necessaria alla convergenza delle serie, dunque per il criterio del confronto la serie di partenza dovrebbe divergere positivamente.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\arctan(\frac{n+1}{n^3})[/tex]
Anche questa dovrebbe essere a segni variabili.
[tex]|\frac{1}{n}\arctan(\frac{n+1}{n^3})|\geq |\frac{1}{n}|[/tex]
La seconda è la serie armonica che diverge positivamente e dunque per il criterio del confronto anche la prima.
Vi risulta?
Risposte
"Darèios89":
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{n}(1-\cos(\frac{1}{n}))[/tex]
Dovrebbe essere una serie a termini di segno variabili, ho pensato che forse si può fare una minorazione.
[tex]|\sqrt{n}(1-\cos(\frac{1}{n}))|\geq|\cos(\frac{1}{n})|[/tex]
La serie minorante non verifica la condizione necessaria alla convergenza delle serie, dunque per il criterio del confronto la serie di partenza dovrebbe divergere positivamente.
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\arctan(\frac{n+1}{n^3})[/tex]
Anche questa dovrebbe essere a segni variabili.
[tex]|\frac{1}{n}\arctan(\frac{n+1}{n^3})|\geq |\frac{1}{n}|[/tex]
La seconda è la serie armonica che diverge positivamente e dunque per il criterio del confronto anche la prima.
Vi risulta?
non sono preparatissimo sulle serie;
ma la seconda serie secondo me "converge"
secondo me si deve studiare come $sum arctang (1/n^2)$
Da quale ragionamento deduci che entrambe le serie sono a segni variabili ??
E le maggiorazioni che basi hanno ??
E le maggiorazioni che basi hanno ??
Mh...mi viene da pensarlo perchè coseno e arcotangente hanno sia valori positivi che negativi, quindi in base al loro valore il termine generale potrebbe essere positivo o negativo...
Le maggiorazioni le ho fatte un pò ad intuito....probabile che siano sbagliate.
Le maggiorazioni le ho fatte un pò ad intuito....probabile che siano sbagliate.
Devi ragionare in modo più preciso, non puoi dire : dato che le funzioni coseno e tangente assumono valori sia positivi che negativi allora le serie saranno a segni variabili.
Guarda ad esempio la prima $ sqrt(n) [1-cos(1/n)] $ naturalmente $n=1,2,.... $
Allora $sqrt(n) $ sarà sempre positivo.
La funzione$ cos$ è compresa tra -1 e 1 ; quindi $1-cos (1/n) $ sarà sempre positivo (o al più nullo ) e dunque i termini della serie sono positivi.
Ricorda poi che quando $x rarr 0 $ allora $cos x $ è asintotico a $( 1-x^2/2)$; quindi per $n rarr oo , 1/n rarr 0 $ e $cos(1/n)$ sarà asintotico a $ 1-1/(2n^2 ) $ da cui......
Guarda ad esempio la prima $ sqrt(n) [1-cos(1/n)] $ naturalmente $n=1,2,.... $
Allora $sqrt(n) $ sarà sempre positivo.
La funzione$ cos$ è compresa tra -1 e 1 ; quindi $1-cos (1/n) $ sarà sempre positivo (o al più nullo ) e dunque i termini della serie sono positivi.
Ricorda poi che quando $x rarr 0 $ allora $cos x $ è asintotico a $( 1-x^2/2)$; quindi per $n rarr oo , 1/n rarr 0 $ e $cos(1/n)$ sarà asintotico a $ 1-1/(2n^2 ) $ da cui......
Ah ok, quindi entrambe le serie dovrebbero essere a termini positivi.
Da quello che dici sull'asintotico deduco che voresti usare il criterio del confronto asintotico, che non abbiamo fatto...abbiamo fatto solo il criterio del confronto.
Ho provato nella prima ad usare il criterio del rapporto ma non sembra essere utile.....tra l'altro l'esercizio è preso da un esame da ingegneria, non so se mi sono spinto ad un livello troppo superiore...
Da quello che dici sull'asintotico deduco che voresti usare il criterio del confronto asintotico, che non abbiamo fatto...abbiamo fatto solo il criterio del confronto.
Ho provato nella prima ad usare il criterio del rapporto ma non sembra essere utile.....tra l'altro l'esercizio è preso da un esame da ingegneria, non so se mi sono spinto ad un livello troppo superiore...
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