Carattere di alcune serie
Salve a tutti, sto avendo alcuni problemi nel capire la convergenza di queste serie, poiché non so come approssimarle...
1) $ sum_(n = \1) sin(n^3)*1/n*logn^2 $
2) $ sum_(n = \1) (-1)^n*3/(n*arctgn^2) $
la condizione necessaria di convergenza credo sia soddisfatta per entrambe.
La prima pensavo di approssimare $ logn^2~ n^2 $ e $ sinn^3~ n^3 $ ma mi sembrano entrambe forzate...non so.
La seconda serie che ho scritto invece non so proprio che farci...
Magari sono banali, ma se qualcuno potesse darmi un suggerimento con cui partire nello studio di queste serie gliene sarei davvero grato poiché trovo sempre difficile studiare le serie
1) $ sum_(n = \1) sin(n^3)*1/n*logn^2 $
2) $ sum_(n = \1) (-1)^n*3/(n*arctgn^2) $
la condizione necessaria di convergenza credo sia soddisfatta per entrambe.
La prima pensavo di approssimare $ logn^2~ n^2 $ e $ sinn^3~ n^3 $ ma mi sembrano entrambe forzate...non so.
La seconda serie che ho scritto invece non so proprio che farci...
Magari sono banali, ma se qualcuno potesse darmi un suggerimento con cui partire nello studio di queste serie gliene sarei davvero grato poiché trovo sempre difficile studiare le serie
Risposte
Per la seconda puoi vedere se sono soddisfatte le ipotesi del criterio di Leibniz.
La prima non mi sembra invece banale...
La prima non mi sembra invece banale...
"Sheldor":
Salve a tutti, sto avendo alcuni problemi nel capire la convergenza di queste serie, poiché non so come approssimarle...
1) $ sum_(n = \1) sin(n^3)*1/n*logn^2 $
2) $ sum_(n = \1) (-1)^n*3/(n*arctgn^2) $
la condizione necessaria di convergenza credo sia soddisfatta per entrambe.
La prima pensavo di approssimare $ logn^2~ n^2 $ e $ sinn^3~ n^3 $ ma mi sembrano entrambe forzate...non so.
La seconda serie che ho scritto invece non so proprio che farci...
Scusami sai, prova a prendere una calcolatrice, un foglio di calcolo, MATLAB, un compilatore, qualsiasi cosa faccia dei calcoli.
Ora dimmi se $n^3 \~~ sin(n^3), n=1,2,3,...$.
Non c'è nulla di male se si fanno delle "prove" per vedere se le proprie affermazioni hanno senso. Certo all'esame è una cosa da non fare....
"Sheldor":
La prima pensavo di approssimare $ logn^2~ n^2 $ e $ sinn^3~ n^3 $
ecco questo è sbagliato! L'asintotico lo puoi utilizzare solo quando l'argomento del logartimo o di qualsiasi altra funzione va a 0 per $n\to +\infty$
Per la prima serie prova ad utilizzare qualche criterio del confronto..tipo.. io andrei per tentativi!
"Sheldor":
2) $ sum_(n = \1) (-1)^n*3/(n*arctgn^2) $
è una serie a segni alterni, prova prima a studiare la convergenza assoluta, che se converge assolutamente, allora converge anche semplicemente!
Ah e ti dico sta formula dell'arcotangente $\arctan(n)+\arctan(1/n)=\pi/2$
ti aiuta un po' nell'esercizio.
"Rigel":
La prima non mi sembra invece banale...
Però una serie di quel genere viene spacciata come non convergente...
"Quinzio":
[quote="Rigel"]La prima non mi sembra invece banale...
Però una serie di quel genere viene spacciata come non convergente...[/quote]
Vediamo un po': se ti proponessi questa serie
\[
\sum_n \sin(n) \frac{\log n^2}{n}\,,
\]
che differisce dalla precedente solo per il fatto di avere \(\sin n\) al posto di \(\sin n^3\), cosa mi diresti riguardo alla sua convergenza?
Ad intuito, ma proprio ad intuito, io dico che converge.
Di fatto è a segni alterni.
Però.....
Di fatto è a segni alterni.
Però.....
mmm, e invece perché dici che quella con \(\sin(n^3)\) diverge?
No, non dicevo che quella con $sin(n^3)$ diverge.
Il suo comportamento non è determinabile, perchè non si può sapere cosa fa il $sin(n)$, grazie al fatto che $\pi$ è irrazionale.
Detto ciò è anche verso che se prendo una porzione dell'intervallo $[-1,1]$, ad esempio $I=[l-\epsilon, l+\epsilon]$, posso trovare infiniti valori di $n$ tali che $sin(n)\in I$.
D'altra parte però trovo infiniti valori tali che $-sin(n)\in I$.
Non dico che questi valori si annullano a vicenda, non si sa neanche se sono in proporzione numerica uguale, però la sensazione è che il $sin(n)$ ha lo stesso effetto di $(-1)^n$.
Il suo comportamento non è determinabile, perchè non si può sapere cosa fa il $sin(n)$, grazie al fatto che $\pi$ è irrazionale.
Detto ciò è anche verso che se prendo una porzione dell'intervallo $[-1,1]$, ad esempio $I=[l-\epsilon, l+\epsilon]$, posso trovare infiniti valori di $n$ tali che $sin(n)\in I$.
D'altra parte però trovo infiniti valori tali che $-sin(n)\in I$.
Non dico che questi valori si annullano a vicenda, non si sa neanche se sono in proporzione numerica uguale, però la sensazione è che il $sin(n)$ ha lo stesso effetto di $(-1)^n$.
Si può dimostrare che la serie con \(\sin (n)\) è convergente; ciò dipende dal fatto che la successione
\[
A_n := \sum_{k=0}^n \sin (k)
\]
è limitata, mentre \(b_n := \frac{\log n^2}{n}\) decresce monotonamente a \(0\).
\[
A_n := \sum_{k=0}^n \sin (k)
\]
è limitata, mentre \(b_n := \frac{\log n^2}{n}\) decresce monotonamente a \(0\).
Nonostante i vostri consigli non riesco proprio a capire come studiare queste due serie, passerò ad altro...grazie comunque dell'aiuto
Ma non si può applicare il criterio del confronto? io farei così
provo la convergenza assoluta
$a_n=sin(n^3)*1/n*logn^2> -1 \cdot 2 (\ln n)/(n)>1/n$ diverge!
In pratica non converge assolutamente..
"Sheldor":
1) $ sum_(n = \1) sin(n^3)*1/n*logn^2 $
provo la convergenza assoluta
$a_n=sin(n^3)*1/n*logn^2> -1 \cdot 2 (\ln n)/(n)>1/n$ diverge!
In pratica non converge assolutamente..
"21zuclo":
provo la convergenza assoluta
$ -1 \cdot 2 (\ln n)/(n)>1/n$ diverge!
Questa disuguaglianza non mi è molto chiara...
In ogni caso col confronto semplice non credo si arrivi da nessuna parte...
per questa serie dovrebbe funzionare il criterio di Abel-Dirichlet ...
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