Carattere dell'integrale
Salve, ultima domanda. Sempre relativamente al mio esame, per sapere dove ho sbagliato qualcuno può studiare il carattere di questo integrale al variare di alpha reale
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{|arctan(3-x)|arctanx}{|9-x^2|^\alpha (cosh(\sqrt(x)) -1)^\beta} \)
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{|arctan(3-x)|arctanx}{|9-x^2|^\alpha (cosh(\sqrt(x)) -1)^\beta} \)
Risposte
io farei così: gli intorni che dobbiamo controllare sono tre: $0,3,+oo$
partiamo dall'intorno di 0:
a meno di costanti la funzione è asintotica a $ arctan x/((sqrtx)^2)^(beta) ~ x/x^(beta) $ per cui l'integrale converge se e solo se $beta < 2$
intorno di $+oo$
la funzione si comporta come $1/(x^(2alpha)Chsqrtx)$
in questa direi che converge solo se $beta > 0 $ cos' che l'esponenziale resti a denominatore, se infatti fosse a numeratore, il tutto divergerebbe
infine dobbiamo controllare 3. questo punto è una singolarità per l'integranda solo se $alpha > 0$. in questo caso la funzione si comporta come $ 1/(|3-x|^(alpha)) $ che converge se e solo se $alpha < 1$
ricapitolando l'integrale converge per $alpha < 1$ e $0< beta < 2$
partiamo dall'intorno di 0:
a meno di costanti la funzione è asintotica a $ arctan x/((sqrtx)^2)^(beta) ~ x/x^(beta) $ per cui l'integrale converge se e solo se $beta < 2$
intorno di $+oo$
la funzione si comporta come $1/(x^(2alpha)Chsqrtx)$
in questa direi che converge solo se $beta > 0 $ cos' che l'esponenziale resti a denominatore, se infatti fosse a numeratore, il tutto divergerebbe
infine dobbiamo controllare 3. questo punto è una singolarità per l'integranda solo se $alpha > 0$. in questo caso la funzione si comporta come $ 1/(|3-x|^(alpha)) $ che converge se e solo se $alpha < 1$
ricapitolando l'integrale converge per $alpha < 1$ e $0< beta < 2$
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