Carattere dell'integrale

zita97
Salve, ultima domanda. Sempre relativamente al mio esame, per sapere dove ho sbagliato qualcuno può studiare il carattere di questo integrale al variare di alpha reale
\(\displaystyle \int_0^\infty \frac{|arctan(3-x)|arctanx}{|9-x^2|^\alpha (cosh(\sqrt(x)) -1)^\beta} \)

Risposte
cooper1
io farei così: gli intorni che dobbiamo controllare sono tre: $0,3,+oo$
partiamo dall'intorno di 0:
a meno di costanti la funzione è asintotica a $ arctan x/((sqrtx)^2)^(beta) ~ x/x^(beta) $ per cui l'integrale converge se e solo se $beta < 2$
intorno di $+oo$
la funzione si comporta come $1/(x^(2alpha)Chsqrtx)$
in questa direi che converge solo se $beta > 0 $ cos' che l'esponenziale resti a denominatore, se infatti fosse a numeratore, il tutto divergerebbe
infine dobbiamo controllare 3. questo punto è una singolarità per l'integranda solo se $alpha > 0$. in questo caso la funzione si comporta come $ 1/(|3-x|^(alpha)) $ che converge se e solo se $alpha < 1$
ricapitolando l'integrale converge per $alpha < 1$ e $0< beta < 2$

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