Carattere della serie: Criterio del confronto asintotico

[JackedTux]

Non riesco ad applicare il criterio del confronto asintotico.

L'esercizio chiede di dire se la serie converge semplicemente e/o assolutamente

$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sin(\frac{1}{\log(2n)})$

Convergenza semplice:
Usando il criterio di Leibniz riesco a dimostrare che la serie converge semplicemente

Convergenza assoluta:
$\sum_{n=1}^\infty\|(-1)^n\sin(\frac{1}{\log(2n)})\|=\sum_{n=1}^\infty\sin(\frac{1}{\log(2n)})$
essendo che $\sin(x)\~x$ si avrà che $\sin(\frac{1}{\log(2n)})\~\frac{1}{\log(2n)}$
In genere tendo a procedere in maniera abbastanza meccanica e mi calcolerei il $\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac{1}{\log(2n)})}{\frac{1}{\log(2n)}}$
nelle soluzioni fornite invece si calcola il $\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\log(2n)}}{\frac{1}{\sqrt(n)}}=\infty$
ed essendo $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt(n)}$ divergente (serie armonica) conclude che la serie di partenza è anche lei divergente

Ma da dove è uscito questo limite? ($\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\log(2n)}}{\frac{1}{\sqrt(n)}}=\infty$)

[gugo82]

"A occhio", l'autore delle soluzioni si è accorto che $1/(log (2n)) -> 0$ con ordine infinitamente basso; quindi ha optato per un confronto con il termine generale di una serie armonica generalizzata divergente, ossia con $1/sqrt(n) = 1/(n^{1/2})$.

[JackedTux]

"gugo82":"A occhio", l'autore delle soluzioni si è accorto che $1/(log (2n)) -> 0$ con ordine infinitamente basso; quindi ha optato per un confronto con il termine generale di una serie armonica generalizzata divergente, ossia con $1/sqrt(n) = 1/(n^{1/2})$.

Ok, l'autore sa che $a_n=\frac{1}{\log(2n)}$ va a zero molto lentamente, più lentamente di $b_n=\frac{1}{\sqrt(n)}$,
e per questo il $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty$, inoltre sappiamo che $\sum_{n=1}^\infty b_n=infty$
Da questo dedurrei per il criterio del confronto asintotico che anche $\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$

Però a me servirebbe comunque capire cosa fa il $\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac{1}{\log(2n)})}{\frac{1}{\log(2n)}}$ no?

Se tale limite fa un numero $l$ allora so che hanno lo stesso carattere e quindi anche $\sum_{n=1}^\infty\sin(\frac{1}{\log(2n)})=\infty$

Se tale limite diverge, avendo trovato sopra che $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\log(2n)}=\infty$ allora anche $\sum_{n=1}^\infty\sin(\frac{1}{\log(2n)})=\infty$

Se però tale limite facesse $0$ non riuscirei a concludere niente basandomi sui 3 casi del criterio.

In sostanza non capisco come tale osservazione poi porti alla conclusione finale.

[gugo82]

Beh, ma quello è semplice!
Quel limite fa $1$ per via del notevolissimo $lim_(x -> 0) (sin x)/x$.

[pilloeffe]

Ciao JackedTux,

Innanzitutto benvenuto sul forum!

"JackedTux":Però a me servirebbe comunque capire cosa fa il $ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\frac{1}{\log(2n)})}{\frac{1}{\log(2n)}}$ no?

Scusa, ma non lo sapevi già cosa risulta quel limite notevole? Non l'avevi già capito quando

"JackedTux":essendo che $sin(x)~x$ si avrà che $sin(1/log(2n))~1/log(2n)$

Peraltro, una volta stabilito che [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\bigg[\frac{1}{\log(2n)}\bigg] \sim \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\log(2n)}[/tex], da qui in poi non serve neanche il criterio del confronto asintotico: infatti dalla ben nota disuguaglianza $log x < x $, valida $\AAx > 0 $, ponendo $x := (2n)^a $, $\AA a > 0 $ si ottiene

$log(2n)^a < (2n)^a \iff a log(2n) < (2n)^a \iff 1/log(2n) > a/(2n)^a$

Dato che si può scegliere qualsiasi valore di $a$, nulla vieta di assumere $a = 1/2 $ sicché si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\log(2n)} > \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1/2}{\sqrt2 n^{1/2}} = 1/(2\sqrt2)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{1/2}} $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $a = 1/2 < 1 $, com'è noto positivamente divergente.

[JackedTux]

Ovviamente avete ragione, ho fatto una figuraccia
Ho risposto senza ragionare su quel che ho scritto

Abbiate ancora un po di pazienza, ricapitolando tutto e prendendo spunto da:

"pilloeffe":
infatti dalla ben nota disuguaglianza $\logx

direi che vale direttamente anche $\log(x)<\sqrt(x)$.

Eravamo arrivati ad osservare che [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\bigg[\frac{1}{\log(2n)}\bigg] \sim \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\log(2n)}[/tex]
allora per il criterio del confronto asintotico ne deduco che hanno lo stesso carattere,
e il problema si riduce quindi a studiare il carattere di $sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\log(2n)}$
ma avendo osservato che $\log(x)<\sqrt(x)$ e quindi che (1) $\frac{1}{\sqrt(x)}<\frac{1}{\log(x)}$ e sapendo che (2) $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}=+\infty$
allora dalla (1) e (2) per il criterio del confronto (quello semplice, non asintotico) concludo che $sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\log(2n)}=+\infty$
quindi infine per il risultato precedente del criterio del confronto asintotico che anche [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\sin\bigg[\frac{1}{\log(2n)}\bigg]=+\infty[/tex]

Sicuramente è meno elegante, ma è corretto?
Grazie mille ad entrambi!

[Mephlip]

Sì, è corretto.

Comunque, c'è una casistica del criterio del confronto asintotico in cui si possono dedurre informazioni anche se il limite è $0$. Infatti, se $a_n \ge 0$ e $b_n>0$ e $a_n/b_n \to 0$ per $n \to +\infty$, significa che definitivamente è $a_n/b_n<1$. Quindi, dato che $b_n>0$; definitivamente è $a_n

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