Carattere della serie con criterio del confronto
Un esercizio sul libro mi chiede di studiare il carattere della serie usando il teorema del confronto:
$\sum_{n=2}^(+oo) 1/(n^2*logn)$
Considerando che la serie è formata da un rapporto e la n è al denominatore, ho subito pensato di confrontarla con la serie armonica generalizzata. Allora ho osservato:
$n^2*logn < n^2$
Questo vale per ogni $n >= 3$. Ergo, portando a denominatore avrò:
$1/(n^2*logn) > 1/(n^2)$
Dato che so che la seconda converge, dovrei studiare il limite del loro rapporto per sfruttare il secondo criterio del confronto (se esiste ed è finito e diverso da zero, allora converge anche la prima).
Ora, io ho controllato anche i calcoli con la calcolatrice, ma il libro inverte i segni e '' sostiene '' che $n^2*logn > n^2$ e quindi consequenzialmente $1/(n^2*logn) < 1/(n^2)$. E quindi si ferma qui l'esercizio, in quanto convergono entrambe per il primo criterio del confronto. Ma non riesco a capire come possano essere rispettate queste disequazioni in questo modo!
$\sum_{n=2}^(+oo) 1/(n^2*logn)$
Considerando che la serie è formata da un rapporto e la n è al denominatore, ho subito pensato di confrontarla con la serie armonica generalizzata. Allora ho osservato:
$n^2*logn < n^2$
Questo vale per ogni $n >= 3$. Ergo, portando a denominatore avrò:
$1/(n^2*logn) > 1/(n^2)$
Dato che so che la seconda converge, dovrei studiare il limite del loro rapporto per sfruttare il secondo criterio del confronto (se esiste ed è finito e diverso da zero, allora converge anche la prima).
Ora, io ho controllato anche i calcoli con la calcolatrice, ma il libro inverte i segni e '' sostiene '' che $n^2*logn > n^2$ e quindi consequenzialmente $1/(n^2*logn) < 1/(n^2)$. E quindi si ferma qui l'esercizio, in quanto convergono entrambe per il primo criterio del confronto. Ma non riesco a capire come possano essere rispettate queste disequazioni in questo modo!
Risposte
per questa serie, esiste una serie campione, molti la denominano serie di Abel, altri invece non dicono nulla
sto parlando di questa serie $\sum_(n=2)^(+\infty)(1)/(n^p \ln^(q)n)$
che questa serie converge solamente quando $p>1, \forall q$ oppure $p=1, q>1$
lo si può dimostare in vari metodi..
sto parlando di questa serie $\sum_(n=2)^(+\infty)(1)/(n^p \ln^(q)n)$
che questa serie converge solamente quando $p>1, \forall q$ oppure $p=1, q>1$
lo si può dimostare in vari metodi..
@ Mr.Mazzarr: Che risulti \(\log n<1\) per \(n\geq 3\) mi pare un po' azzardato, non trovi?
"gugo82":
@ Mr.Mazzarr: Che risulti \(\log n<1\) per \(n\geq 3\) mi pare un po' azzardato, non trovi?
Sì gugo, ma non capisco come possa $n^2*logn > n^2$.
Prendendo $n=3$, ho $4.29$ circa a sinistra e $9$ a destra. No?
Per \(n=11\) che succede?
$n^2logn$ risulta minore di $n^2$. Questo vuol dire che quel '' rapporto '' non è confermato per ogni $n$.
Però è anche vero che:
$logn > 1$
$n^2logn > n^2$
Quindi mi sto confondendo totalmente le idee!
Però è anche vero che:
$logn > 1$
$n^2logn > n^2$
Quindi mi sto confondendo totalmente le idee!
Se il \(\log\) è quello in base \(10\), per \(n\geq 10\) hai evidentemente \(\log n \geq \log 10 =1\) (perchè?), ergo \(n^2\ \log n\geq n^2\).
D'altra parte, se \(\log\) è quello neperiano, la stessa stima vale per \(n\geq 3\).
In generale, per \(a>1\), la stima \(n^2\ \log_a n \geq n^2\) vale per \(n\geq \lceil a\rceil\).
D'altra parte, se \(\log\) è quello neperiano, la stessa stima vale per \(n\geq 3\).
In generale, per \(a>1\), la stima \(n^2\ \log_a n \geq n^2\) vale per \(n\geq \lceil a\rceil\).
E' il logaritmo in base numero di Nepero. Comunque tutto chiaro, sempre gentile gugo 
Posso chiederti una cosa riguardante le serie? Piccolo dubbio: per studiare l'assoluta convergenza, posso usare i criteri di convergenza che uso per studiare la convergenza?
Posso chiederti una cosa riguardante le serie? Piccolo dubbio: per studiare l'assoluta convergenza, posso usare i criteri di convergenza che uso per studiare la convergenza?
Del logaritmo neperiano ho scritto sopra.
Per quanto riguarda i criteri, tutti quelli che hai studiato (a parte Leibniz) sono in effetti criteri di convergenza assoluta. Quindi, quando li applichi, stai sempre studiando la convergenza assoluta.
Queste sono le basi della teoria, Mr.
Per quanto riguarda i criteri, tutti quelli che hai studiato (a parte Leibniz) sono in effetti criteri di convergenza assoluta. Quindi, quando li applichi, stai sempre studiando la convergenza assoluta.
Queste sono le basi della teoria, Mr.
Aspetta, i 4° criteri più noti (diciamo così), ovvero della radice, del confronto, del rapporto e dell'infinitesimo io li uso per calcolare la convergenza semplice. La convergenza assoluta si calcola studiando il carattere della serie in valore assoluto.
Perciò ti chiedevo se anche quando studio la convergenza assoluta posso usare quei 4 criteri che conosco.
Perciò ti chiedevo se anche quando studio la convergenza assoluta posso usare quei 4 criteri che conosco.
"Mr.Mazzarr":
Aspetta, i 4° criteri più noti (diciamo così), ovvero della radice, del confronto, del rapporto e dell'infinitesimo io li uso per calcolare la convergenza semplice.
Di quali tipi di serie?
"gugo82":
[quote="Mr.Mazzarr"]Aspetta, i 4° criteri più noti (diciamo così), ovvero della radice, del confronto, del rapporto e dell'infinitesimo io li uso per calcolare la convergenza semplice.
Di quali tipi di serie?[/quote]
Numeriche.
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