Carattere della serie

[Godjackal]

Ciao a tutti
In una prova d'esame che ho fatto viene richiesto di determinare il carattere delle seguenti serie:
$ a) sum_(n = 1)^(+oo)(sqrt(n^6 + n + 1) -n^3) $

$ b) sum_(n = 1)^(+oo)((3^-n + sin(n!) + log(1+e^n))/(2n + 4^-n +1)) $

Che ho risolto così:

$ a) sum_(n = 1)^(+oo)(sqrt(n^6 + n + 1) -n^3) = sum_(n = 1)^(+oo)(sqrt(n^6 (1 + 1/n^5 + 1/n^6)) -n^3) = sum_(n = 1)^(+oo)(n^3sqrt( (1 + 1/n^5 + 1/n^6)) -n^3) = sum_(n = 1)^(+oo)(n^3(sqrt( (1 + 1/n^5 + 1/n^6)) - 1)) $ ora si ha che $ (1+1/n^5 + 1/n^6)^(1/2) - 1)$ ~ $(1/2)(1/n^5+1/n^6) $

Quindi: $ n^3(1/(2n^5) + 1/(2n^6)) = (1/(2n^2) + 1/(2n^3)) $

Ora si ha che $1/(2n^2) <= 1/(n(n+1))$ che è una minorante della serie di Mengoli che converge e quindi converge anche la serie minorante. Stessa cosa per $1/(2n^3)$ e dato che la somma di due serie convergenti è convergente si può dire che la serie di partenza converge.

$ b) sum_(n = 1)^(+oo)((3^-n + sin(n!) + log(1+e^n))/(2n + 4^-n +1)) $ ~ $log(1+e^n)/(2n) >= 1/n$ Dato che la serie è una maggiorante della serie armonica e la serie armonica diverge si ha che anche la serie di partenza diverge.


Potete dirmi se sbaglio qualcosa?
Grazie, a presto

[pater46]

Mmm.. più facilmente:

$ 1/2 sum 1/n^2 + 1/n^3 $ converge in quanto somma di due serie armoniche di ragione $>1$.

Per l'altra, se consideri $log(1+e^n) approx n$, hai $sum 1/2$ che, ovviamente, diverge.

Nella prima non mi pare ci siano errori. Se nella seconda hai prestato la dovuta attenzione negli sviluppi, allora ottimo!

[Godjackal]

Perfetto!
Ti ringrazio