Carattere della serie
Saluto tutti perchè sono nuovo
dovrei determinare il carattere delle seguenti serie ma sono un po in difficoltà
$\sum_{k=1}^N (1/n^2-(1-cos(1/sqrt(n))^2)$
$\sum_{k=1}^N n^2/(3^n*(1+n*sqrt(n)))$
Per la prima ho approssimato il coseno con taylor e ho trovato una serie armonica generalizzata convergente, vorrei sapere se è il procedimento giusto, invece per la seconda non so da dove devo partire, grazie.
dovrei determinare il carattere delle seguenti serie ma sono un po in difficoltà
$\sum_{k=1}^N (1/n^2-(1-cos(1/sqrt(n))^2)$
$\sum_{k=1}^N n^2/(3^n*(1+n*sqrt(n)))$
Per la prima ho approssimato il coseno con taylor e ho trovato una serie armonica generalizzata convergente, vorrei sapere se è il procedimento giusto, invece per la seconda non so da dove devo partire, grazie.
Risposte
Per la prima il procedimento è giusto (non ho controllato però se effettivamente converge), per la seconda prova a usare il criterio della radice 
verrebbe: $\sum_{k=1}^N n/(3*(1+n*sqrt(n)))$
poi come si procede ?
poi come si procede ?
Qualcuno può aiutarmi ? 
"Toberto":
verrebbe: $\sum_{k=1}^N n/(3*(1+n*sqrt(n)))$
No
"Gatto89":
[quote="Toberto"]verrebbe: $\sum_{k=1}^N n/(3*(1+n*sqrt(n)))$
No
[/quote]scusa, puoi scrivere come dovrebbe venire ?
[mod="Gatto89"]Per il futuro, evita per piacere up ravvicinati come da regolamento (che avrai sicuramente letto) altrimenti sono costretto a bloccare il topic.[/mod]
Riguardo al quesito, guarda che $( n/(3^n*(1+n)*sqrt(n)) )^(1/n)$ e $n/(3*(1+n)*sqrt(n)$ sono profondamenti diversi (non puoi semplificare brutalmente come hai fatto).
Riguardo al quesito, guarda che $( n/(3^n*(1+n)*sqrt(n)) )^(1/n)$ e $n/(3*(1+n)*sqrt(n)$ sono profondamenti diversi (non puoi semplificare brutalmente come hai fatto).
Tra l'altro, il criterio della radice n-esima dice che, presa una successione ${a_n}$ a valori reali e posta come argomento di una radice n-esima, se i valori della successione sono strettamente minori di 1 definitivamente per $n>=n_0$ (quindi da un certo $n_0$ in poi, e dire che il limite per $n->+oo$ risulta minore stretto di 1 è sufficiente per avvalorare l'ipotesi),
ALLORA
$sum_(n=n_0)^(+oo) {a_n}$ converge.
Riapplica la definizione per bene, ti pare che quello che hai scritto prima di azzecchi qualcosa?
Oltretutto, nelle tue sommatorie c'è un $N$ che non hai spiegato cosa significhi; se parli di somme parziali, non ha senso parlare di convergenza/divergenza, se intendi il limite delle somme parziali, allora hai omesso di dire che stai facendo appunto un limite per $N->+oo$...
ALLORA
$sum_(n=n_0)^(+oo) {a_n}$ converge.
Riapplica la definizione per bene, ti pare che quello che hai scritto prima di azzecchi qualcosa?
Oltretutto, nelle tue sommatorie c'è un $N$ che non hai spiegato cosa significhi; se parli di somme parziali, non ha senso parlare di convergenza/divergenza, se intendi il limite delle somme parziali, allora hai omesso di dire che stai facendo appunto un limite per $N->+oo$...
"ObServer":
Tra l'altro, il criterio della radice n-esima dice che, presa una successione ${a_n}$ a valori reali e posta come argomento di una radice n-esima, se i valori della successione sono strettamente minori di 1 definitivamente per $n>=n_0$ (quindi da un certo $n_0$ in poi, e dire che il limite per $n->+oo$ risulta minore stretto di 1 è sufficiente per avvalorare l'ipotesi),
ALLORA
$sum_(n=n_0)^(+oo) {a_n}$ converge.
Riapplica la definizione per bene, ti pare che quello che hai scritto prima di azzecchi qualcosa?
Oltretutto, nelle tue sommatorie c'è un $N$ che non hai spiegato cosa significhi; se parli di somme parziali, non ha senso parlare di convergenza/divergenza, se intendi il limite delle somme parziali, allora hai omesso di dire che stai facendo appunto un limite per $N->+oo$...
anche a me sembrava strana quella semplificazione, immaginavo di aver sbagliato...
mi riferisco al limite delle somme parziali, è la prima volta che utilizzo le formule del forum e quindi ho avuto qualche problema...
dopo aver applicato il criterio della radice, come si completa l'esercizio ?
La seconda serie converge, perche' puoi riconoscere i suoi termini essere il prodotto di due successioni di cui una monotona decrescente tendente a zero, e l'altra avente somme parziali limitate.
Ora lo so che non entro in dettaglio, ma ci sono dei teoremi ben precisi che ti spiegano perche' quando accade cio' che ho osservato in questi casi, allora le serie si possono ritenere convergenti.
Ora lo so che non entro in dettaglio, ma ci sono dei teoremi ben precisi che ti spiegano perche' quando accade cio' che ho osservato in questi casi, allora le serie si possono ritenere convergenti.
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