Carattere della serie
Stabilire il carattere della serie
\( \sum_{n=1}^{\infty} arc cos \frac{n-1}{n} \)
Innanzitutto ho calcolato il limite per n che tende a infinito, ottenendo come risultato zero, ma questa é solo una condizione necessaria.
Ho provato con il criterio del rapporto e della radice ma il risultato del limite é 1(pertanto non é possibile stabilire il carattere della serie)
Non so proprio come andare avanti.
Dovrebbe risultare che la serie diverge
Grazie:)
\( \sum_{n=1}^{\infty} arc cos \frac{n-1}{n} \)
Innanzitutto ho calcolato il limite per n che tende a infinito, ottenendo come risultato zero, ma questa é solo una condizione necessaria.
Ho provato con il criterio del rapporto e della radice ma il risultato del limite é 1(pertanto non é possibile stabilire il carattere della serie)
Non so proprio come andare avanti.
Dovrebbe risultare che la serie diverge
Grazie:)
Risposte
Ho modificato il messaggio...spero rispettando le regole del forum...
Conosci il criterio del confronto asintotico? Potresti far vedere che
\[\arccos \frac{n-1}{n}\sim \frac{1}{n^\alpha}\]
determinando $\alpha$ e ragionando allora sul tipo di serie armonica generalizzata che ottieni.
\[\arccos \frac{n-1}{n}\sim \frac{1}{n^\alpha}\]
determinando $\alpha$ e ragionando allora sul tipo di serie armonica generalizzata che ottieni.
Si lo conosco:) non ci avevo pensato:)
Quindi devo trovare per quali valori di \( \alpha \) si ha che $ \lim_{ n \rightarrow + \infty} \frac{arccos \frac{n-1}{n}}{frac{1}{n^{\alpha}}} = 1$
Risolvo il limite utilizzando un cambio di variabile, ponendo $ t= arc cos \frac{n-1}{n} $ da cui $ n= \frac{1}{1-cos t} $
Il limite diventa $ \lim_{ t \rightarrow 0} \frac{t}{(1-cos t)^{\alpha}} = lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{sen^{\alpha} t} (1 + cos t) $
Come faccio a rendere questo limite uguale a 1?
Quindi devo trovare per quali valori di \( \alpha \) si ha che $ \lim_{ n \rightarrow + \infty} \frac{arccos \frac{n-1}{n}}{frac{1}{n^{\alpha}}} = 1$
Risolvo il limite utilizzando un cambio di variabile, ponendo $ t= arc cos \frac{n-1}{n} $ da cui $ n= \frac{1}{1-cos t} $
Il limite diventa $ \lim_{ t \rightarrow 0} \frac{t}{(1-cos t)^{\alpha}} = lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{sen^{\alpha} t} (1 + cos t) $
Come faccio a rendere questo limite uguale a 1?
1) il limite deve essere diverso da zero e da infinito, non uguale ad uno. Se vuoi che sia uguale ad uno devi anche scrivere $k/n^\alpha$ come infinitesimo da confrontare e determinare il valore di $k$.
2) L'ultima cosa che hai scritto non è vera: dovresti scrivere $(1+\cos t)^\alpha$.
In ogni caso è un passaggio inutile quello che fai: dovresti sapere che $\cos t=1-t^2/2+o(t^2)$ per cui il limite diventa
$\lim_{t\to 0}\frac{t}{t^{2\alpha}/2^\alpha}$
e pertanto deve essere $2\alpha=1$, cioè $\alpha=1/2$. Ne segue che
\[\arccos\frac{n-1}{n}\sim \frac{k}{n^{1/2}}\]
e quindi....
2) L'ultima cosa che hai scritto non è vera: dovresti scrivere $(1+\cos t)^\alpha$.
In ogni caso è un passaggio inutile quello che fai: dovresti sapere che $\cos t=1-t^2/2+o(t^2)$ per cui il limite diventa
$\lim_{t\to 0}\frac{t}{t^{2\alpha}/2^\alpha}$
e pertanto deve essere $2\alpha=1$, cioè $\alpha=1/2$. Ne segue che
\[\arccos\frac{n-1}{n}\sim \frac{k}{n^{1/2}}\]
e quindi....
Quindi Diverge siccome la serie armonica $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n^{\alpha}} $ diverge per $ \alpha <= 1 $
Grazie
Un'ultima cosa: sul libro che usiamo noi c'é scritto che due successioni $ \ a_n $ e $ \b_n $ sono asintotiche se
$ \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{a_n}{b_n} = 1 $
Mentre tu hai detto che il limite deve essere uguale ad un numero finito diverso da zero. Chi ha ragione?
Grazie
Un'ultima cosa: sul libro che usiamo noi c'é scritto che due successioni $ \ a_n $ e $ \b_n $ sono asintotiche se
$ \lim_{n \rightarrow + \infty } \frac{a_n}{b_n} = 1 $
Mentre tu hai detto che il limite deve essere uguale ad un numero finito diverso da zero. Chi ha ragione?
Sì, ma asintotiche significa, in soldoni, che hanno lo stesso limite. Invece in questo caso potrebbe accadere che le due successioni abbiano limiti diversi e quindi serve una costante $k$ che normalizzi il valore del limite del rapporto portandolo ad 1. In generale quando cerchi ordini di infinito, inifnitesimo quello che fai è semplicemente calcolare il limite con una certa potenza della variabile a denominatore, così da ottenere un limite finito e, quindi, verificare che l'ordine della successione iniziale coincida con la potenza della variabile. Se in più vuoi proprio il limite 1 devi aggiungere questa costante moltiplicativa.
Tanto per fare un esempio: se tu avessi $f(x)=\sin(7x^3)$ allora
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x^3)}{x^\alpha}=7$ se $\alpha=3$
e pertanto
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x^3)}{kx^3}=1$
P.S.: la funzione $7x^3$ trovata si definisce "parte principale" della funzione originale e, in pratica, rappresenta in buona approssimazione l'andamento generale della funzione in un intorno piccolo del punto in cui calcoli il limite.
Tanto per fare un esempio: se tu avessi $f(x)=\sin(7x^3)$ allora
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x^3)}{x^\alpha}=7$ se $\alpha=3$
e pertanto
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x^3)}{kx^3}=1$
P.S.: la funzione $7x^3$ trovata si definisce "parte principale" della funzione originale e, in pratica, rappresenta in buona approssimazione l'andamento generale della funzione in un intorno piccolo del punto in cui calcoli il limite.
Grazie mille! Chiarissimo:)
Ciao:)
Ciao:)
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