Carattere della serie

[Tommy85]

$\sum_{n=1}^(+oo) (n^2-n^3 sin (1/n))^n\ $ mi sono bloccato su questa serie forse me ne sto andando nel pallone ma nn riesco a procedere

[Noisemaker]

diciamo che la tentazione di procedere applicando il criterio della radice è tanta....basterebbe verificare che si tratta di una serie a termini positivi ....lo è?

[gugo82]

Propongo un metodo per verificare se la serie è effettivamente a termini positivi o no.

Per lo sviluppo di Taylor del seno si ha:
\[
\begin{split}
n^2 -n^3\ \sin \frac{1}{n} &= n^2 - n^3 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + \text{o}\left( \frac{1}{n^3}\right)\right) \\
&= \frac{1}{6} + \text{o} (1)\; .
\end{split}
\]
Dato che, per definizione, una quantità \(\text{o}(1)\) (qualnque essa sia!) è infinitesima, essa sarà più piccola in valore assoluto di \(\varepsilon =\frac{1}{12}>0\) a patto di prendere \(n\) "sufficientemente grande"; conseguentemente, per \(n\) maggiore di un certo indice \(\nu\) si ha:
\[
\frac{1}{12}=\frac{1}{6} - \frac{1}{12} \leq n^2 -n^3\ \sin \frac{1}{n} \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\; .
\]
Da ciò seguono immediatamente sia la positività degli addendi della serie, sia la convergenza della serie stessa (per confronto con la serie geometrica convergente \(\sum (1/4)^n\)).

[Tommy85]

Noisemaker:diciamo che la tentazione di procedere applicando il criterio della radice è tanta....basterebbe verificare che si tratta di una serie a termini positivi ....lo è?

si lo è infatti
$sin x=x-1/6 x^3+o(x^3)$ quindi avremo che $n^2-n^3(1/n-1/(6n^3) )=1/6$ che è positiva quindi ora posso applicare il criterio della radice esatto?

[Noisemaker]

si lo è ...per come l'ha dimostrato Gugo82 ... ma penso che una serie cosi semplice non venga assegnata solo per applicare il criterio della radice ... ma anche per controllare se le ipoteesi per la sua applicazione sono verificate...

[Tommy85]

Noisemaker:si lo è ...per come l'ha dimostrato Gugo82 ... ma penso che una serie cosi semplice non venga assegnata solo per applicare il criterio della radice ... ma anche per controllare se le ipoteesi per la sua applicazione sono verificate...

e si infatti il $lim(n->oo)((1/6)^n)^(1/n)=1/6$ essendo $1/6<1$ LA SERIE SARà CONVERGENTE GIUSTO?