Carattere convergenza di una serie

[dottorm]

Salve a tutti, ho un proplema con la studio della seguente serie :

$ sum_(n = 2)^(n = oo )(-1)^(n)(1-(1/sqrt(n) ))^(n^(2)ln n) $

Quello che faccio di trasformarla in:


$ e^{(n^(2)ln n) log(1-(1/sqrt(n) ))} $

e poi qui mi blocco, come posso fare?

Grazie

[Darèios89]

Mh....interessante....non so se torna utile, ma.....nell'ultima tua espressione

[tex](1-\frac{1}{\sqrt{n}})[/tex] si potrebbe scrivere in modo diverso....forse..per avere meno calcoli.
Ci sto provando..

[j18eos]

Io inizierei a capire se il termine generale fosse infinitesimo!

[dottorm]

Leggendo un po qua e un po la ho visto che (1-1/sqrt(n)) viene calcolato tramite mc laurin... e la cosa mi sembra un po astrusa... almeno ai miei occhi. Posso considerarla come come (1-1/n) che per n -> inf è asintotico a 1/n?

[j18eos]

Non sono bravo con le stime asintotiche! Se tu volessi procedere così mi ritirerei!

[dottorm]

Non è che voglio procedere cosi è che sto cercando idee che mi illuminino

[alberto.chiarini]

Il termine generale della serie è infinitesimo, per mostrarlo prova a usare, opportunamente al contesto, questo limite notevole:

[tex]\lim_{n\to \infty}\bigl (1-\frac{1}{n}\bigr)^n =\frac{1}{e}[/tex]

Per quanto riguarda la convergenza,
un trucco potrebbe essere osservare che [tex]\bigl (1-\frac{1}{\sqrt{n}}\bigr)^\sqrt{n}[/tex] tende crescendo a [tex]\frac{1}{e}[/tex]. Perciò

[tex]\bigl (1-\frac{1}{\sqrt{n}}\bigr)^{n^2 ln(n)}\leq\frac{1}{e^{n^{3/2} ln(n)}}[/tex]

e concludere da qui che la serie converge assolutamente per confronto

[dottorm]

Grazie ragazzi

[j18eos]

Prego pur essendomi limitato ad intonare il LA della risoluzione!