Capire se Funzione è derivabile differenziabile e continua
Salve gente. Mi trovo in prossimità dell'orale di analisi e in alcuni compiti mi trovo una domanda così:
$f(x,y)={((xy)/(2x^2+2y^2)+3x+2y,if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
mi viene chiesto di dire se questa funzione è continua, derivabile (e calcolare le derivate parziali) e differenziabile in $P_0=(0,0)$
Per la continuità: penso che di debba fare il $lim_((x,y)->(0,0)^+)$ e a $lim_((x,y)->(0,0)^-)$ e se vengono uguali per i teoremi delle funzioni risulta continua in $P_0$
Per la derivabilità: non lo so
Per la differenziabilità: penso che basti dimostrare che $EE f_x(x,y),f_y(x,y)$ e dovrebbe essere differenziabile per il teorema del differenziale totale.
E' giusto come ragionamento?
$f(x,y)={((xy)/(2x^2+2y^2)+3x+2y,if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
mi viene chiesto di dire se questa funzione è continua, derivabile (e calcolare le derivate parziali) e differenziabile in $P_0=(0,0)$
Per la continuità: penso che di debba fare il $lim_((x,y)->(0,0)^+)$ e a $lim_((x,y)->(0,0)^-)$ e se vengono uguali per i teoremi delle funzioni risulta continua in $P_0$
Per la derivabilità: non lo so
Per la differenziabilità: penso che basti dimostrare che $EE f_x(x,y),f_y(x,y)$ e dovrebbe essere differenziabile per il teorema del differenziale totale.
E' giusto come ragionamento?
Risposte
E' tutto sbagliato.
Continuità: Che cosa significa $lim_{(x, y)\to (0,0)^+}$??? Qui sei in due dimensioni, non in una sola.
Differenziabilità: A parte il fatto che parli di derivate dopo avere scritto "non lo so" alla derivabilità, il teorema che dici richiede una ipotesi in più: le derivate non solo devono esistere ma devono anche essere continue.
Continuità: Che cosa significa $lim_{(x, y)\to (0,0)^+}$??? Qui sei in due dimensioni, non in una sola.
Differenziabilità: A parte il fatto che parli di derivate dopo avere scritto "non lo so" alla derivabilità, il teorema che dici richiede una ipotesi in più: le derivate non solo devono esistere ma devono anche essere continue.
ommamma... quindi come dovrei fare? fammi pensare...
Per la continuità bisogna dimostrare che $EElim_((x,y)->(0,0))f(x,y)=0$?
Per la derivabilità devono esistere le derivate parziali?
Per la differenziabilità le derivate parziali devono essere uguali?
Per la continuità bisogna dimostrare che $EElim_((x,y)->(0,0))f(x,y)=0$?
Per la derivabilità devono esistere le derivate parziali?
Per la differenziabilità le derivate parziali devono essere uguali?
Continuità e derivabilità ok. Differenziabilità: o applichi la definizione oppure usi il teorema del differenziale totale, il cui enunciato puoi trovare sul tuo libro di analisi. Se fai una ricerca sul forum di esercizi svolti uguali a questo ne trovi a tonnellate.
allora partiamo col primo punto. sostituendo con le coordinate polari mi viene...
$lim_(r->0)(cos\thetasen\theta)/2+3rcos\theta+2rsen\theta = (cos\thetasen\theta)/2$
risulta che il limite è funzione dell'angolo $\theta$ quindi la funzione non è continua.
poi considero le derivate parziali...
$lim_(x->0) (f(x,0)-f(0,0))/x = lim_(x->0) 0/(2x^2)+3x+0 = 0$
$lim_(y->0) (f(0,y)-f(0,0))/y = lim_(y->0) 0/(2y^2)+0+2y = 0$
quindi risulta $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$
poi utilizzando il teorema del differenziale totale considerando che le derivate parziali sono 0...
$lim_(r->0) (((cos\thetasen\theta)/2+3rcos\theta+2rsen\theta)-0)/|r| = lim_(r->0) (cos\thetasen\theta+6rcos\theta+4rsen\theta)/(2|r|) = \nexists$
quindi non differenziabile in (0,0)
giusto?
$lim_(r->0)(cos\thetasen\theta)/2+3rcos\theta+2rsen\theta = (cos\thetasen\theta)/2$
risulta che il limite è funzione dell'angolo $\theta$ quindi la funzione non è continua.
poi considero le derivate parziali...
$lim_(x->0) (f(x,0)-f(0,0))/x = lim_(x->0) 0/(2x^2)+3x+0 = 0$
$lim_(y->0) (f(0,y)-f(0,0))/y = lim_(y->0) 0/(2y^2)+0+2y = 0$
quindi risulta $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$
poi utilizzando il teorema del differenziale totale considerando che le derivate parziali sono 0...
$lim_(r->0) (((cos\thetasen\theta)/2+3rcos\theta+2rsen\theta)-0)/|r| = lim_(r->0) (cos\thetasen\theta+6rcos\theta+4rsen\theta)/(2|r|) = \nexists$
quindi non differenziabile in (0,0)
giusto?
Poiché in [tex]$(0;0)$[/tex] non è continua: non può essere differenziabile!
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