Capire meglio i logaritmi
Salve a tutti, vorrei avere meglio le idee per capire i logaritmi.
Da definizione mi viene detto che: Sia $a>0, a != 1, y>0$ allora esiste un unico numero reale $x$ t.c $a^x = y$
Però la definizione cos i èmotlo vaga. Tra gli appunti c'ho anche scritto che il logaritmo è l'inverso dell'esponenziale, ma non riesco a capire perchè, ed anche per questo non riesco a chiarirmi le varie proprietà.
Ad esempio perchè $log_a a^x =x$ ? ed anahce perchè se faccio $a^(log_a y) = y$ ?
Magari se capissi meglio "cosa è in pratica un logaritmo" riuscirei a darmi una spiegazione alle varie proprietà, anche perchè non credo serva a nulla impararle a memoria.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,
Neptune.
Da definizione mi viene detto che: Sia $a>0, a != 1, y>0$ allora esiste un unico numero reale $x$ t.c $a^x = y$
Però la definizione cos i èmotlo vaga. Tra gli appunti c'ho anche scritto che il logaritmo è l'inverso dell'esponenziale, ma non riesco a capire perchè, ed anche per questo non riesco a chiarirmi le varie proprietà.
Ad esempio perchè $log_a a^x =x$ ? ed anahce perchè se faccio $a^(log_a y) = y$ ?
Magari se capissi meglio "cosa è in pratica un logaritmo" riuscirei a darmi una spiegazione alle varie proprietà, anche perchè non credo serva a nulla impararle a memoria.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,
Neptune.
Risposte
Allora... la cosa che devi bene avere in mente è la seguente:
$log_a(x)$ è l'esponente che devi dare ad $a$ per ottenere $x$
Per definizione, infatti:
$log_a (x)=y hArr x=a^y$
Quindi ad esempio $log_10 (100) = 2$ perchè $10^2=100$
Oppure $log_3(81)=4$, $log_2(32)=5$..... Ok?
$log_a(x)$ è l'esponente che devi dare ad $a$ per ottenere $x$
Per definizione, infatti:
$log_a (x)=y hArr x=a^y$
Quindi ad esempio $log_10 (100) = 2$ perchè $10^2=100$
Oppure $log_3(81)=4$, $log_2(32)=5$..... Ok?
il logaritmo è l'inverso dell'esponenziale perchè brutalmente tu cerchi "l'esponente della potenza" quando fai un logaritmo, mi spiego con un esempio:
se $2^3=8$ allora $log_2(8)=3$ come da definizione (è l'esponente da dare alla base per ottenere la potenza)
Con un esempio del genere ti dovrebbero andare via i dubbi sulle proprietà (almeno spero)
se $2^3=8$ allora $log_2(8)=3$ come da definizione (è l'esponente da dare alla base per ottenere la potenza)
Con un esempio del genere ti dovrebbero andare via i dubbi sulle proprietà (almeno spero)
Se $log_a a = x$ dovrebbe essere $a^x = a$?
Mentre nel caso in cui dicevo: $log_a a^x =x$ sarebbe come dire che $a^x = a^x$ ?
Mentre nel caso in cui dicevo: $log_a a^x =x$ sarebbe come dire che $a^x = a^x$ ?
mentre il fatto che sia l'inverso, ovvero che prendendo $a^(log_a y) = y$ lo prendo per assioma o c'è una spiegazione non troppo difficile di fondo?
Non credo ci sia poi così tanto di complesso, semplicemente devi sapere che il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
Cioè,detto in termini banali, il logaritmo in base $a$ di $b$, ti dà l'esponente che devi dare ad $a$ per ottenere $b$.
Rifletti infatti sulla scrittura: $AA b>0$ $:$ $log_a b = c hArr a^c=b$
Ovviamente ora cerco di darti la definizione più corretta e completa:
Sia $a in R$ ; $a > o$ ; $a!=1$*.
Si chiama logaritmo di base $a$, l'inversa della funzione esponenziale di base $a$.
La funzione logaritmica possiamo quindi definirla così:
$(f_a)^-1$ $:$ $]0,+oo) -> R$ ;
dove $f_a$ è,evidentemente, la funzione esponenziale di base $a$.
oppure:
$log_a$ $:$ $]0,+oo) -> R$.
ma come opera questa funzione?
Bè te lo già detto su, mi ripeto per essere chiaro:
$AA b>0$ $:$ $log_a b = c hArr a^c=b$.
Spero che ora ti sia chiaro per quale motivo $log_a a = 1!$
Proprio perchè $log_a a = x hArr a^x=a hArr x=1 $
------
Un' osservazione importante è che la funzione logaritmica è un funzione strettamente monotona poichè è l'inversa della funzione esponenziale che, in effetti, è strettamente monotona!
In particolare ricorda di distinguere due casi:
Se $a>1$ $rArr$ $log_a$ è strettamente crescente.
Se $0
PROPRIETA':
Le proprietà principali sono 4: [Dimostrazioni **]
1) $log_a b*c = log_a b + log_a c$
2) $log_a (b/c) = log_a b - log_a c$
3) $log_a b^c = c*log_a b$
4) $log_a root(n) (a^m) = (n/m)*log_a b$
---
Una formula, molto utile, è quella relativa al cambio di base.
Con essa puoi passare da una base $a$ ad una qualsiasi altra base $c$:
$log_a b = (log_c b)/(log_c a)$
[Dimostrazione: ***]
_______________________________________________________
* Si impone $a!=1$ solo per escludere un caso particolare in cui abbiamo una funzione costante; poiche $log_1 x = c hArr 1^c = x rArr x = 1$
**Dimostrazioni delle proprietà:
1)
Poniamo $log_a b = x$ e $log_a c = y$
Applicando la definizione di logaritmo abbiamo che:
$a^x = b$
$a^y = c$
Moltiplichiamo membro a membro così da ottenere:
$a^x*a^y = b*c hArr a^(x+y) = b*c $
Applichiamo la proprietà delle potenze:
$ a^(x+y) = b*c hArr log_a b*c = x+y $
Sostituiamo ad $x$ e $y$ quanto avevamo imposto all'inizio e arriviamo alla proprietà:
$log_a b*c = log_a b + log_a c$
2) Simile in tutto e per tutto alla prima.
3) Poniamo $log_a b = x$
e consideriamo questa espressione:
$a^x = b$
eleviamo ambo i membri per $c$:
$(a^x)^c = b^c hArr a^(xc) = b^c $
Passiamo ai logaritmi:
$log_a b^c = c*x$
Basta ora ricordarsi che $log_a b = x$, per cui:
$log_a b^c = c*log_a b$
4) Deriva dalla proprietà 3).
Infatti basta osservare che:
$log_a root(n) (a^m) = log_a b^(n/m) = (n/m)*log_a $
*** Dimostrazione formula cambio base:
Poniamo $log_c b = x$ [(1)] e $log_a b = y$ [(2)]
Dalla (2) otteniamo che: $a^y=b$
Sostituiamo nella (1) così da ottenere:
$log_c b = x hArr log_c a^y = x$; applichiamo la terza proprietà sui logaritmi:
$y*log_c a = log_c b hArr y = (log_c b)/(log_c a)$
Quindi:
$log_a b = (log_c b)/(log_c a)$
Spero non aver commesso errori di scrittura nelle dimostrazioni, avvisatemi in caso affermativo.
Cioè,detto in termini banali, il logaritmo in base $a$ di $b$, ti dà l'esponente che devi dare ad $a$ per ottenere $b$.
Rifletti infatti sulla scrittura: $AA b>0$ $:$ $log_a b = c hArr a^c=b$
Ovviamente ora cerco di darti la definizione più corretta e completa:
Sia $a in R$ ; $a > o$ ; $a!=1$*.
Si chiama logaritmo di base $a$, l'inversa della funzione esponenziale di base $a$.
La funzione logaritmica possiamo quindi definirla così:
$(f_a)^-1$ $:$ $]0,+oo) -> R$ ;
dove $f_a$ è,evidentemente, la funzione esponenziale di base $a$.
oppure:
$log_a$ $:$ $]0,+oo) -> R$.
ma come opera questa funzione?
Bè te lo già detto su, mi ripeto per essere chiaro:
$AA b>0$ $:$ $log_a b = c hArr a^c=b$.
Spero che ora ti sia chiaro per quale motivo $log_a a = 1!$
Proprio perchè $log_a a = x hArr a^x=a hArr x=1 $
------
Un' osservazione importante è che la funzione logaritmica è un funzione strettamente monotona poichè è l'inversa della funzione esponenziale che, in effetti, è strettamente monotona!
In particolare ricorda di distinguere due casi:
Se $a>1$ $rArr$ $log_a$ è strettamente crescente.
Se $0
PROPRIETA':
Le proprietà principali sono 4: [Dimostrazioni **]
1) $log_a b*c = log_a b + log_a c$
2) $log_a (b/c) = log_a b - log_a c$
3) $log_a b^c = c*log_a b$
4) $log_a root(n) (a^m) = (n/m)*log_a b$
---
Una formula, molto utile, è quella relativa al cambio di base.
Con essa puoi passare da una base $a$ ad una qualsiasi altra base $c$:
$log_a b = (log_c b)/(log_c a)$
[Dimostrazione: ***]
_______________________________________________________
* Si impone $a!=1$ solo per escludere un caso particolare in cui abbiamo una funzione costante; poiche $log_1 x = c hArr 1^c = x rArr x = 1$
**Dimostrazioni delle proprietà:
1)
Poniamo $log_a b = x$ e $log_a c = y$
Applicando la definizione di logaritmo abbiamo che:
$a^x = b$
$a^y = c$
Moltiplichiamo membro a membro così da ottenere:
$a^x*a^y = b*c hArr a^(x+y) = b*c $
Applichiamo la proprietà delle potenze:
$ a^(x+y) = b*c hArr log_a b*c = x+y $
Sostituiamo ad $x$ e $y$ quanto avevamo imposto all'inizio e arriviamo alla proprietà:
$log_a b*c = log_a b + log_a c$
2) Simile in tutto e per tutto alla prima.
3) Poniamo $log_a b = x$
e consideriamo questa espressione:
$a^x = b$
eleviamo ambo i membri per $c$:
$(a^x)^c = b^c hArr a^(xc) = b^c $
Passiamo ai logaritmi:
$log_a b^c = c*x$
Basta ora ricordarsi che $log_a b = x$, per cui:
$log_a b^c = c*log_a b$
4) Deriva dalla proprietà 3).
Infatti basta osservare che:
$log_a root(n) (a^m) = log_a b^(n/m) = (n/m)*log_a $
*** Dimostrazione formula cambio base:
Poniamo $log_c b = x$ [(1)] e $log_a b = y$ [(2)]
Dalla (2) otteniamo che: $a^y=b$
Sostituiamo nella (1) così da ottenere:
$log_c b = x hArr log_c a^y = x$; applichiamo la terza proprietà sui logaritmi:
$y*log_c a = log_c b hArr y = (log_c b)/(log_c a)$
Quindi:
$log_a b = (log_c b)/(log_c a)$
Spero non aver commesso errori di scrittura nelle dimostrazioni, avvisatemi in caso affermativo.
Scusami, ma nella 4 compare un b, che non compare prima.
Sempre nella 4 credo che m e n siano state invertire, nel senso che la radice ennesima di un numero elevato alla m è uguale al numero stesso elevato a m su n e non n su m.
Se mi sbaglio, correggimi.
Sempre nella 4 credo che m e n siano state invertire, nel senso che la radice ennesima di un numero elevato alla m è uguale al numero stesso elevato a m su n e non n su m.
Se mi sbaglio, correggimi.
Ciao 
Cerco di dirti in altro modo, ciò che ti hanno detto anche gli altri.
Prendi la funzione esponenziale:
$f: RR -> RR_0^+$ definita da $f: x |-> a^x$
bisogna che la funzione sia sempre definita
1) perché $ane1$ ti dico una semplice cosa, supponiamo $a=1$
$f(x)=1^x$ cosa ti ritorna? sempre $1$ quindi si dice che è indeterminata.
In poche parole sarebbe la retta $y=1$
2) perché $a>0$? consideriamo che debba essere sempre definita.
supponiamo $a<0$ scegli tu un qualunque valore di $a$ e prendi $f(x)=a^x$
il momento in cui $x=1/2$ abbiamo $f(1/2)=sqrt(a)$, ma $a$ è negativo... e su $RR$ non ha senso.
Ecco perché la base della funzione esponenziale deve essere positiva e diversa da uno, perché altrimenti perde di significato molto spesso, quasi per tutti gli $a<0$
passiamo al logaritmo
il problema del logaritmo entra in gioco per una questione logica:
$a^x=b$ mettiamo di conoscere $a,b$ ma non conosciamo qual è quel numero che messo ad esponente di $a$ mi da $b$? e volessimo trovarlo, come lo troviamo? con il logaritmo. La cui definizione è quella in neretto (senza qual è ponendola in forma esclamativa).
ti faccio un rapido esempio:
$10^x=100$
qual è quel numero che messo ad esponente di $10$ (la potenza) mi da $100$? ovviamente è $2$
infatti $10^2=100$ quindi $2$ è il logaritmo in base $10$ di $100$ e si scrive:
$log_10(100)=2$
NB: molto spesso al posto del logaritmo in base $10$ troverai $Log$ senza base e con la $L$ maiuscola.
Invece $log o ln$ (nel primo caso con la $l$ minuscola) denotano il logaritmo naturale, ovvero i logaritmi la cui base è il numero $e$.
Generalizzando ora il concetto possiamo scrivere
$a=$ base
$b=$ argomento (ovvero quanto vale l'equazione $a^(log_a(b)=b$, cioè 'quanto' deve venire, che differisce con il valore del logaritmo in se)
$c=$ valore del logaritmo
Guarda attentamente questo passaggio:
$a^c=b$ e $log_a(b)=c$ ma allora $a^(log_a(b))=b$
quindi $c$ è proprio il logaritmo, ovvero quel numerino che stiamo cercando.
Quando stai risolvendo una qualunque cosa con i logaritmi, dei ricordarti che c'è una specie di sotto equazione che stai soddisfando.
Perché se io ho questa equazione $-> log_2(8)=x$ parallelamente sto cercando di soddisfare questa altra equazione $2^x=8$
risolviamo la seconda:
$2^x=2^3 <=> x=3$ il classico modo di risolvere un'equazione esponenziale ma se al posto di $x$ ci fosse:
$2^(log_2(8))=8$ cosa cambierebbe? nulla. Stai soddisfando praticamente la stessa equazione.
ora passiamo ai fatti
la funzione logaritmica è la funzione inversa della esponenziale, quindi come tale dobbiamo fare in modo che la funzione esponenziale sia una biezione
Solitamente te la forniscono già bella ed impacchettata come $f:RR -> RR_0^+$ ma arriviamoci per deduzioni.
$f(x)=a^x$ l'esponente non ha problemi di definizione, infatti possiamo porre $x inRR$ però richiede, come detto prima, che la $a$ sia positiva e non $1$.
ma un qualunque prodotto di numeri positivi, è positivo Quindi già possiamo restringere il codominio a $RR^+$
ma tentiamo di dare un senso a $a^x=0$. E supponiamo che $a>0$ e per assurdo che questa uguaglianza sia verificata.
$underbrace{a*a*a*....*a}_x=0$
ma $a*a*a*...*a=0 <=> a=0$ ma noi abbiamo supposto $a>0$ quindi a meno che non sia $a=0$ questa uguaglianza non è mai verificata.
In poche parole abbiamo capito che non esiste un numero tale per cui la sua immagine mediante $f$ sia $0$
quindi
$f:RR -> RR_(0)^+$ diventa invertendola $f:RR_(0)^+ -> RR$
$y=a^x$ diventa $x=log_a(y)$ in generale $f(x)=log_a(x)$
il grafico è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
insiemisticamente è rappresentata come:
$f={(x,y)|x inRR_(0)^+, yinRR, y=log_a(x)}$
proprietà principali:
biettiva su tutto il dominio
strettamente monotona crescente per $a>1$ ovvero per la base del $log$
strettamente monotona decrescente per $0
derivabile su tutto il dominio
$lim_(x->0^+)log_a(x)=-infty$ se $a>1$
$lim_(x->0^+)log_a(x)=+infty$ se $0
al momento non mi viene nient'altro in mente
e se ora ti dicessi quanto vale $3^(log_3(5,829)$?
ora.. le dimostrazioni te le hanno già fatte, quindi non mi sembra il caso di annebbiare il lavoro degli altri, però cerco di chiarirti la $4$.
Brutalmente la di chiama:
proprietà di atterraggio dell'esponente
Considera in partenza l'equazione
eleviamo tutto all'n-esima potenza, $n inRR$, considerando che è possibile non distinguere i casi poiché l'esponenziale è sempre positivo.
$a^(xn)=b^n$ adesso applichiamo ad entrambi la funzione $f(x)= log_a(x)$ che essendo funzione inversa, sappiamo che vale:
$fcircf^(-1) = iχ$
quindi avremo: $xn=log_a(b^n)$
ma abbiamo detto che $x=log_a(b)$ quindi in definitiva:
esempio
$x=log_2(1024)$ considera che $1024=2^7$
$x=log_2(2^7) <=> x=7log_2(2)$
$log_2(2)$ significa
qual è que numero che messo ad esponente di $2$, mi da $2$? ovviamente $1$
Quindi $x=7$ e in generale:
$log_a(b^(n/m))=n/mlog_a(b)$
Spero ti sia stato utile, in caso chiedi.
Cerco di dirti in altro modo, ciò che ti hanno detto anche gli altri.
Prendi la funzione esponenziale:
$f: RR -> RR_0^+$ definita da $f: x |-> a^x$
bisogna che la funzione sia sempre definita
1) perché $ane1$ ti dico una semplice cosa, supponiamo $a=1$
$f(x)=1^x$ cosa ti ritorna? sempre $1$ quindi si dice che è indeterminata.
In poche parole sarebbe la retta $y=1$
2) perché $a>0$? consideriamo che debba essere sempre definita.
supponiamo $a<0$ scegli tu un qualunque valore di $a$ e prendi $f(x)=a^x$
il momento in cui $x=1/2$ abbiamo $f(1/2)=sqrt(a)$, ma $a$ è negativo... e su $RR$ non ha senso.
Ecco perché la base della funzione esponenziale deve essere positiva e diversa da uno, perché altrimenti perde di significato molto spesso, quasi per tutti gli $a<0$
passiamo al logaritmo
il problema del logaritmo entra in gioco per una questione logica:
$a^x=b$ mettiamo di conoscere $a,b$ ma non conosciamo qual è quel numero che messo ad esponente di $a$ mi da $b$? e volessimo trovarlo, come lo troviamo? con il logaritmo. La cui definizione è quella in neretto (senza qual è ponendola in forma esclamativa).
ti faccio un rapido esempio:
$10^x=100$
qual è quel numero che messo ad esponente di $10$ (la potenza) mi da $100$? ovviamente è $2$
infatti $10^2=100$ quindi $2$ è il logaritmo in base $10$ di $100$ e si scrive:
$log_10(100)=2$
NB: molto spesso al posto del logaritmo in base $10$ troverai $Log$ senza base e con la $L$ maiuscola.
Invece $log o ln$ (nel primo caso con la $l$ minuscola) denotano il logaritmo naturale, ovvero i logaritmi la cui base è il numero $e$.
Generalizzando ora il concetto possiamo scrivere
$log_a(b)=c$
$a=$ base
$b=$ argomento (ovvero quanto vale l'equazione $a^(log_a(b)=b$, cioè 'quanto' deve venire, che differisce con il valore del logaritmo in se)
$c=$ valore del logaritmo
Guarda attentamente questo passaggio:
$a^c=b$ e $log_a(b)=c$ ma allora $a^(log_a(b))=b$
quindi $c$ è proprio il logaritmo, ovvero quel numerino che stiamo cercando.
Quando stai risolvendo una qualunque cosa con i logaritmi, dei ricordarti che c'è una specie di sotto equazione che stai soddisfando.
Perché se io ho questa equazione $-> log_2(8)=x$ parallelamente sto cercando di soddisfare questa altra equazione $2^x=8$
risolviamo la seconda:
$2^x=2^3 <=> x=3$ il classico modo di risolvere un'equazione esponenziale ma se al posto di $x$ ci fosse:
$2^(log_2(8))=8$ cosa cambierebbe? nulla. Stai soddisfando praticamente la stessa equazione.
ora passiamo ai fatti
la funzione logaritmica è la funzione inversa della esponenziale, quindi come tale dobbiamo fare in modo che la funzione esponenziale sia una biezione
Solitamente te la forniscono già bella ed impacchettata come $f:RR -> RR_0^+$ ma arriviamoci per deduzioni.
$f(x)=a^x$ l'esponente non ha problemi di definizione, infatti possiamo porre $x inRR$ però richiede, come detto prima, che la $a$ sia positiva e non $1$.
ma un qualunque prodotto di numeri positivi, è positivo Quindi già possiamo restringere il codominio a $RR^+$
ma tentiamo di dare un senso a $a^x=0$. E supponiamo che $a>0$ e per assurdo che questa uguaglianza sia verificata.
$underbrace{a*a*a*....*a}_x=0$
ma $a*a*a*...*a=0 <=> a=0$ ma noi abbiamo supposto $a>0$ quindi a meno che non sia $a=0$ questa uguaglianza non è mai verificata.
In poche parole abbiamo capito che non esiste un numero tale per cui la sua immagine mediante $f$ sia $0$
quindi
$f:RR -> RR_(0)^+$ diventa invertendola $f:RR_(0)^+ -> RR$
$y=a^x$ diventa $x=log_a(y)$ in generale $f(x)=log_a(x)$
il grafico è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
insiemisticamente è rappresentata come:
$f={(x,y)|x inRR_(0)^+, yinRR, y=log_a(x)}$
proprietà principali:
biettiva su tutto il dominio
strettamente monotona crescente per $a>1$ ovvero per la base del $log$
strettamente monotona decrescente per $0
derivabile su tutto il dominio
$lim_(x->0^+)log_a(x)=-infty$ se $a>1$
$lim_(x->0^+)log_a(x)=+infty$ se $0
al momento non mi viene nient'altro in mente
e se ora ti dicessi quanto vale $3^(log_3(5,829)$?
ora.. le dimostrazioni te le hanno già fatte, quindi non mi sembra il caso di annebbiare il lavoro degli altri, però cerco di chiarirti la $4$.
Brutalmente la di chiama:
proprietà di atterraggio dell'esponente
Considera in partenza l'equazione
$a^x=b <=> x=log_a(b)$
eleviamo tutto all'n-esima potenza, $n inRR$, considerando che è possibile non distinguere i casi poiché l'esponenziale è sempre positivo.
$a^(xn)=b^n$ adesso applichiamo ad entrambi la funzione $f(x)= log_a(x)$ che essendo funzione inversa, sappiamo che vale:
$fcircf^(-1) = iχ$
quindi avremo: $xn=log_a(b^n)$
ma abbiamo detto che $x=log_a(b)$ quindi in definitiva:
$nlog_a(b)=log_a(b^n)$
esempio
$x=log_2(1024)$ considera che $1024=2^7$
$x=log_2(2^7) <=> x=7log_2(2)$
$log_2(2)$ significa
qual è que numero che messo ad esponente di $2$, mi da $2$? ovviamente $1$
Quindi $x=7$ e in generale:
$log_a(b^(n/m))=n/mlog_a(b)$
Spero ti sia stato utile, in caso chiedi.
Me ne sto accorgendo ora....... AHAHAHAHAHAHAH
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