Campo vettoriale e integrale con seno e coseno

[alessre]

Ciao,
ho bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.


Considerato il campo vettoriale

[math]F(x; y) = (2xsen(yz); zx^2cos(yz); yx^2cos(yz))[/math]

dire se è conservativo o meno e calcolarne l'integrale lungo il segmento congiungente i punti (0; 0; 0) e (1; 1; 1):

Io l'ho risolto in questo modo.
Indico con:

[math]f_{1}=2xsen(yz),f_{2}=zx^2cos(yz), f_{3}=yx^2cos(yz)[/math]

Per verificare se il campo sia conservativo deve soddisfare le seguenti uguaglianze:

[math]\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}\\ \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial F_3}{\partial y}\\
\frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial F_1}{\partial z}[/math]

abbiamo che:

[math]\frac{\partial F_1}{\partial y}=2xzcos(yz);[/math]

[math]\frac{\partial F_2}{\partial x}2xzcos(yz);[/math]

[math]\frac{\partial F_2}{\partial z}=x^2cos(yz)-x^2yzsin(yz);[/math]

[math]\frac{\partial F_3}{\partial y}=x^2cos(yz)-x^2yzsin(yz) ;[/math]

[math]\frac{\partial F_3}{\partial x}=2xy cos(yz);[/math]

[math]\frac{\partial F_1}{\partial z}= 2xy cos(xz).[/math]

le uguaglianze sono soddisfatte e quindi possiamo dire che il campo è conservativo.

Ora per calcolare l'integrale abbiamo che:

[math]\int \vec{F}\cdot d\vec{l}= \int(F_x(x,y,z)dx+F_y(x,y,z)dy+F_z(x,y,z)dz)=\\
\int_0^1(F_x(t,t,t)dt+F_y(t,t,t)dt+F_z(t,t,t)dt[/math]

cioè

[math]\int_0^1 2tsen(t^2)dt+t^3 cos(t^2)dt+t^3 cos(t^2)dt[/math]

[math]\int_0^1 2tsen(t^2)dt+2(t^3 cos(t^2)dt)[/math]

qui mi sono bloccato. come lo risolvo l'integrale.
mi potete aiutare per favore.
grazie :-)

[mc2]

Fai il cambio di variabile t^2=u

Integra per parti il secondo termine


Altro metodo: se hai stabilito che il campo e` vettoriale puoi calcolare la funzione potenziale U(x,y,z) tale che

[math]\vec{F}=\vec{\nabla}U[/math]

e poi calcolare

[math]U(1,1,1)-U(0,0,0)[/math]

.

[alessre]

risolvo dapprima gli integrali indefiniti.

[math]\int 2t sen t^{2}dt=2\int t\, sint^{2}dt[/math]

ponendo

[math]u=t^2[/math]

si ha du=2t dt, e quindi

[math]=2\int \frac{1}{2} sin\,u\, \, du=2(-\frac{cosu}{2})[/math]

[math]=-2(-\frac{cost^{2}}{2})=-cost^{2}+C[/math]

è giusto.
per il secondo integrale non ci sto riuscendo.
mi puoi aiutare.
grazie.

[mc2]

Fai la stessa sostituzione e calcola per parti

[alessre]

ok. grazie mille