Campo vettoriale conservativo

[blackxion]

Salve a tutti, ho un problema un po' di ragionamento. Allora, iniziamo col dire che l'esercizio mi chiede di calcolare un integrale curvilineo di un campo F lungo una $\gamma$.
In pratica:

$\int_\gamma F" " ds" "$ con $" "\gamma = {(x(t)=t^2),(y(t)=e^t),(z(t)=sin t):}$

Ed ora il campo F: $" "\F=[(2x)/(x^2+y^2+2z^2) - e^z +2y^2] dx +[(2y)/(x^2+y^2+2z^2)+4xy+cos y]dy + [(4z)/(x^2+y^2+2z^2)-xe^z]dz$

Ok, allora, poichè le derivate parziali $" "(delM)/(dely) = (delN)/(delx)" "$ ; $" "(delM)/(delz) = (delP)/(delx)" "$ ; $" "(delN)/(delz) = (delP)/(dely)" "$ allora è chiuso.

Però per usare la formula del potenziale, devo dire che è conservativo, giusto? Ecco, questo è il punto che non so come risolvere. Portandoci sulle forme differenziali, secondo Poincarè, se il dominio è stellato e $\omega$ chiusa, allora è anche esatta. Bene, tornando al campo, esattazza significa che è conservativo, ma il dominio è stellato?
Grazie in anticipo per le risposte.

[Lorin1]

Potresti sfruttare il fatto che chiuso implica esatto nel caso in cui il dominio è semplicemente connesso. La prima cosa da fare è capire qual è il dominio della tua forma differenziale...

[robe921]

il dominio è $\mathbb{R}^3$ (non penso si possa annullare il denominatore), quindi il campo è definito in un aperto semplicemente connesso e di conseguenza è conservativo. Ora puoi procedere col calcolo del potenziale

[Lorin1]

Io invece direi $RR^3-{(0,0,0)}$

[gio73]

... e allora non è semplicemente connesso, o sbaglio?

[robe921]

giusto, che sbadato.. in $\mathbb{R}^3$ come si ragiona in questo caso? si prende una curva in $\mathbb{R}^3$ che circonda l'origine per verificare la conservatività del campo come nel caso del piano?

@gio: no, non è semplicemente connesso perché c'è il cosiddetto "buco"

[Lorin1]

Uhm...allora dato che abbiamo la parametrizzazione della curva, si potrebbe fare direttamente l'integrale (di 2a specie)

[robe921]

comunque (per la cronaca), sul mio libro di analisi ho letto che il dominio $\mathbb{R}^3\\{(0,0,0)}$ è semplicemente connesso

[ludwigZero]

"robe92":comunque (per la cronaca), sul mio libro di analisi ho letto che il dominio $\mathbb{R}^3\\{(0,0,0)}$ è semplicemente connesso

ricordo qualche discussione sulla questione del semplicemente connesso e non semplicemente connesso. Non ricordo il perchè (mi pare dissonance l'ha dimostrato) in $RRR^3$ anchè se c'è il cosidetto 'buco' il dominio $\mathbb{R}^3\\{(0,0,0)}$ è semplicemente connesso...

[Lorin1]

Si ho capito cosa intendi...
E' una cosa che ho dimostrato nell'esame di topologia algebrica, legato al fatto che $S^n$ è semplicemente connesso per $n>1$, se non sbaglio.

[blackxion]

Ok, allora se $\R^3$ rimane sempl. connesso , sarebbe perfetto, anche perché ho fatto i calcoli e molte cose si semplificano, soprattutto quando si fanno le derivate parziali.
Altrimenti in $\R^3$ come si fa ad escludere un buco? Bisogna creare una $\gamma$ che racchiuda il buco sul piano e poi farla ruotare per escludere tutto la regione di spazio?