Campo vettoriale conservativo
Ciao a tutti ,
oggi è il giorno dei campi vettoriali , ed ecco il primo dubbio !
Dire se questo campo è conservativo e calcolarne l'eventuale potenziale : $ F(x,y) = (2 \sqrt(y)) /(x+1) i + x/(1+y) j $ .
Allora , correggetemi se sbaglio : un campo si dice conservativo se è definito su un dominio semplicemente connesso ed il rotore di tale campo è nullo (campo irrotazionale) , GIUSTO ?
In questo caso , il campo è definito su $R^2$ escluso il punto che annulla contemporaneamente i due denominatori , cioè $(-1,-1)$ , quindi $D=R^2 \backslash {(-1,-1)} $e se non sbaglio un dominio dato dal piano ad eccezione di un punto NON è semplicemente connesso. (Perchè non è semplicemente connesso?)
Quindi mi basta questo per dire che il campo non è conservativo ? Grazie
oggi è il giorno dei campi vettoriali , ed ecco il primo dubbio !
Dire se questo campo è conservativo e calcolarne l'eventuale potenziale : $ F(x,y) = (2 \sqrt(y)) /(x+1) i + x/(1+y) j $ .
Allora , correggetemi se sbaglio : un campo si dice conservativo se è definito su un dominio semplicemente connesso ed il rotore di tale campo è nullo (campo irrotazionale) , GIUSTO ?
In questo caso , il campo è definito su $R^2$ escluso il punto che annulla contemporaneamente i due denominatori , cioè $(-1,-1)$ , quindi $D=R^2 \backslash {(-1,-1)} $e se non sbaglio un dominio dato dal piano ad eccezione di un punto NON è semplicemente connesso. (Perchè non è semplicemente connesso?)
Quindi mi basta questo per dire che il campo non è conservativo ? Grazie
Risposte
Forse però ho dimenticato la condizione $y \>=0$
Ciao. Io escluderei la retta: $x=-1$. Dato che poi dev'essere $y>=0$, l'esclusione della retta $y=-1$ è ridondante.
Hai ragione ! Quindi un dominio del tipo "piano a meno di una retta" è semplicemente connesso , dico bene ?
In tal caso , per dire definitivamente se è conservativo devo dimostrare che il suo rotore è nullo ?
In tal caso , per dire definitivamente se è conservativo devo dimostrare che il suo rotore è nullo ?
Ciao. Io direi che è un semipiano a meno di una semiretta ortogonale alla sua frontiera, e francamente non lo vedo connesso, ma magari sono io che mi ricordo male la definizione di connesso.
Ciao Previ91, sarò più chiara di Pallit: cerca la definizione di insieme connesso: per controllare ho il quaderno d'appunti qui davanti (ormai è più che maggiorenne, ma credo che le definizioni non siano cambiate). Poi postala insieme ai tuoi ragionamenti; spesso se si arriva da soli, e magari con un piccolo sforzo, alle risposte, poi si ricordano meglio, FIDATI.
A più tardi!
A più tardi!
Ciao Gio grazie per rispondere a molte delle mille domande che posto in questi giorni ; ti do la definizione in un pò così come mi ricordo perchè sono un pò fuso ,
allora se non sbaglio un dominio si dice semplicemente connesso se posso prendere una curva (compresa nel dominio stesso) e posso restringerla fino ad un punto. Non è la massima precisione possibile ma , se non ricordo male , la definizone è questa.
Allora il mio dubbio è questo :
stiamo considerando un semipiano $y>0$ ad eccezione di una semiretta ; allora io mi chiedo : è possibile prendere una curva all'interno di questo semipiano , senza interferire con la semiretta ,e ridurla ad un punto ? Secondo il ragionamento grafico che mi sto facendo in mente si. Sbaglio se dico che potrebbe essere semplicemente connesso ? fammi sapere
Grazie
allora se non sbaglio un dominio si dice semplicemente connesso se posso prendere una curva (compresa nel dominio stesso) e posso restringerla fino ad un punto. Non è la massima precisione possibile ma , se non ricordo male , la definizone è questa.
Allora il mio dubbio è questo :
stiamo considerando un semipiano $y>0$ ad eccezione di una semiretta ; allora io mi chiedo : è possibile prendere una curva all'interno di questo semipiano , senza interferire con la semiretta ,e ridurla ad un punto ? Secondo il ragionamento grafico che mi sto facendo in mente si. Sbaglio se dico che potrebbe essere semplicemente connesso ? fammi sapere
Grazie
Ciao previ sono andata a cercare qualche definizione su wiki, comequesta per integrare il fidato quaderno (lì ho la definizione di insieme connesso per cammini). Ora i due punti che vuoi congiungere li puoi prendere tutti e due dalla stessa parte della semiretta che devi togliere e riesci a congiungerli tranquillamente, ma se sono da parti opposte rispetto alla semiretta no, quindi non puoi prendere due qualsiasi punti e trovare sempre un arco che li congiunge. La tua definizione, che ho trovato su wiki e che aggiunge l'avverbio "semplicemente" è ancora più restrittiva, mi sembra che dica che affinchè un insieme sia semplicemente connesso è necessario che qualsiasi curva appartenente all'insieme possa essere ridotta ad un punto, nel tuo insieme se una curva è tutta da una parte della semiretta può essere ridotta ad un punto, se invece interseca la semiretta direi di no.
Come diceva palliit, del quale mi fido parecchio e anzi spero in un suo intervento finale, se abbiamo un semipiano dal quale dobbiamo togliere una semiretta direi che il nostro insieme non è connesso.
L'importante però è che tu cerchi di capire le definizioni e poi provi a verificarle.
Come diceva palliit, del quale mi fido parecchio e anzi spero in un suo intervento finale, se abbiamo un semipiano dal quale dobbiamo togliere una semiretta direi che il nostro insieme non è connesso.
L'importante però è che tu cerchi di capire le definizioni e poi provi a verificarle.
"gio73":E quindi l'insieme in questione non è connesso.
Ciao previ sono andata a cercare qualche definizione su wiki, comequesta per integrare il fidato quaderno (lì ho la definizione di insieme connesso per cammini). Ora i due punti che vuoi congiungere li puoi prendere tutti e due dalla stessa parte della semiretta che devi togliere e riesci a congiungerli tranquillamente, ma se sono da parti opposte rispetto alla semiretta no, quindi non puoi prendere due qualsiasi punti e trovare sempre un arco che li congiunge.
La tua definizione, che ho trovato su wiki e che aggiunge l'avverbio "semplicemente" è ancora più restrittiva, mi sembra che dica che affinchè un insieme sia semplicemente connesso è necessario che qualsiasi curva appartenente all'insieme possa essere ridotta ad un punto,Qualsiasi curva chiusa.
nel tuo insieme se una curva è tutta da una parte della semiretta può essere ridotta ad un punto, se invece interseca la semiretta direi di no.Se interseca la semiretta esce dall'insieme e quindi non è una curva da prendere in considerazione. E poi, di solito quando si parla di insieme "semplicemente connesso" si richiede a parte che sia connesso, quindi in questo caso il problema non si pone.
Grazie Dissonance, ho commesso un paio di errori, spero di non aver fatto troppa confusione in Previ, se fosse mi scuso.
Ora per vedere se ho capito bene la differenza tra insieme connesso e insieme semplicemente connesso provo a fare qualche esempio:
Una corona circolare è un insieme connesso, ma non è semplicemente connesso.
Se abbiamo un piano meno una retta/parabola/iperbole l'insieme non è connesso ma è semplicemente connesso
Se abbiamo un piano meno una circonferenza/ellisse (solo il bordo) non è connesso e non è semplicemente connesso
Un piano a meno di un punto è connesso, ma non è semplicemente connesso; la curva chiusa potrebbe stare intorno a quel punto.
Ora per vedere se ho capito bene la differenza tra insieme connesso e insieme semplicemente connesso provo a fare qualche esempio:
Una corona circolare è un insieme connesso, ma non è semplicemente connesso.
Se abbiamo un piano meno una retta/parabola/iperbole l'insieme non è connesso ma è semplicemente connesso
Se abbiamo un piano meno una circonferenza/ellisse (solo il bordo) non è connesso e non è semplicemente connesso
Un piano a meno di un punto è connesso, ma non è semplicemente connesso; la curva chiusa potrebbe stare intorno a quel punto.
Ciao.
Posso sbagliarmi ma mi sembra che per essere semplicemente connesso un insieme debba essere prima di tutto connesso. Altrimenti detto, un insieme non connesso non può essere semplicemente connesso. Un piano privato di una linea come quelle che cita gio73 (retta, parabola, iperbole) non è connesso, quindi non può essere semplicemente connesso. Lo è una delle due (tre nel caso dell'iperbole) regioni in cui la linea lo divide. Mi sbaglio (eventualità possibilissima malgrado la fiducia di gio73, che ringrazio e saluto) ?
Posso sbagliarmi ma mi sembra che per essere semplicemente connesso un insieme debba essere prima di tutto connesso. Altrimenti detto, un insieme non connesso non può essere semplicemente connesso. Un piano privato di una linea come quelle che cita gio73 (retta, parabola, iperbole) non è connesso, quindi non può essere semplicemente connesso. Lo è una delle due (tre nel caso dell'iperbole) regioni in cui la linea lo divide. Mi sbaglio (eventualità possibilissima malgrado la fiducia di gio73, che ringrazio e saluto) ?
Bensvegliato Pallit, nel rispondere a Previ sono stata affrettata e questo ha generato degli errori che Dissonance mi ha fatto notare. Ora la mia preparazione è molto inferiore alla vostra: non sono laureata nè in matematica, nè in fisica, nè in ingegneria. Ho seguito e concluso un corso di laurea della facoltà di scienze sostenendo un paio di esami di matematica che però mi sono piaciuti molto e ho studiato con passione, proseguendo un po' lo studio anche dopo.
Fatta questa premessa dico che posso prendere grossi abbagli e mi fido più di voi, ora provo a asvolgere un ragionamento, ma mi raccomando controllate bene!
La definizione che ho sul quaderno di insieme Connesso è uguale a quella linkata, dove viene chiamato Connesso per cammini e mi sembra che non esistano dubbi sul fatto che un piano meno una retta non sia connesso, oppure due regioni isolate non siano connesse, perchè la definizione mi chiede di verificare che presi due QUALSIASI punti appartenenti al mio insieme ci sia almeno un percorso (arco) che li congiunge e questo cammino deve essere interno all'insieme. Se devo attraversare una retta (che non ha inizio nè fine, non ci posso mica girare intorno!) per andare da un punto all'altro allora non è connesso. Se la nostra retta si interrompesse da qualche parte (ma non sarebbe più una retta), insomma ci fosse una breccia: allora sì l'insieme sarebbe connesso.
La definizione di insieme semplicemente connesso non l'avevo studiata a suo tempo, il fatto che fosse aggiunto l'avverbio mi ha indotta a pensare che la definizione fosse più restrittiva, ma dissonance ha fatto notare che la curva chiusa deve appartenere TUTTA all'insieme, poi la facciamo stringere fino a degenerare in un punto.
Ora secondo me la cosa da fare è controllare bene la definizione di insieme semplicemente connesso, bisogna vedere se indica casi particolari di insieme connesso (posso dire che l'insieme degli insiemi semplicemente connessi è un sottoinsieme dell'insieme degli insiemi connessi?) o se è indipendente.
questa però non mi soddisfa, probabilmente non la capisco, aspetto i vostri lumi.
Fatta questa premessa dico che posso prendere grossi abbagli e mi fido più di voi, ora provo a asvolgere un ragionamento, ma mi raccomando controllate bene!
La definizione che ho sul quaderno di insieme Connesso è uguale a quella linkata, dove viene chiamato Connesso per cammini e mi sembra che non esistano dubbi sul fatto che un piano meno una retta non sia connesso, oppure due regioni isolate non siano connesse, perchè la definizione mi chiede di verificare che presi due QUALSIASI punti appartenenti al mio insieme ci sia almeno un percorso (arco) che li congiunge e questo cammino deve essere interno all'insieme. Se devo attraversare una retta (che non ha inizio nè fine, non ci posso mica girare intorno!) per andare da un punto all'altro allora non è connesso. Se la nostra retta si interrompesse da qualche parte (ma non sarebbe più una retta), insomma ci fosse una breccia: allora sì l'insieme sarebbe connesso.
La definizione di insieme semplicemente connesso non l'avevo studiata a suo tempo, il fatto che fosse aggiunto l'avverbio mi ha indotta a pensare che la definizione fosse più restrittiva, ma dissonance ha fatto notare che la curva chiusa deve appartenere TUTTA all'insieme, poi la facciamo stringere fino a degenerare in un punto.
Ora secondo me la cosa da fare è controllare bene la definizione di insieme semplicemente connesso, bisogna vedere se indica casi particolari di insieme connesso (posso dire che l'insieme degli insiemi semplicemente connessi è un sottoinsieme dell'insieme degli insiemi connessi?) o se è indipendente.
questa però non mi soddisfa, probabilmente non la capisco, aspetto i vostri lumi.
Ciao gio73. Perchè non ti soddisfa? Nella definizione che dà, ed in cui mi ritrovo, parte dal considerare uno spazio $X$ connesso per archi (indicando quindi nella connessione un prerequisito necessario perchè un insieme sia semplicemente connesso), in cui qualunque curva chiusa sia deformabile con continuità fino a ridursi ad un punto, sostanzialmente in accordo con quello che ha precisato dissonance.
OT: la mia preparazione era consistente un bel po' di anni fa, adesso... faccio quello che posso! Ciao
OT: la mia preparazione era consistente un bel po' di anni fa, adesso... faccio quello che posso! Ciao
Ora ho capito! (credo...)
Provo di nuovo a fare degli esempi
1) un piano meno un buco (grande, grandissimo, ma anche piccolo piccolissimo, fino ad un punto) è connesso, ma non semplicemente connesso
2) una corona circolare è connessa ma non semplicemente connessa
3) due curve chiuse, di cui una interna all'altra individuano una regione interna limitata che è connessa ma non semplicemente connessa
4) un cerchio, un ellisse (contenuto incluso), una qualsiasi curva chiusa con l'interno tutto incluso (tutti tutti i punti) è connesso e semplicemente connesso
5) Un piano meno una retta non è connesso e allora non mi domando nemmeno se è semplicemente connesso
Provo di nuovo a fare degli esempi
1) un piano meno un buco (grande, grandissimo, ma anche piccolo piccolissimo, fino ad un punto) è connesso, ma non semplicemente connesso
2) una corona circolare è connessa ma non semplicemente connessa
3) due curve chiuse, di cui una interna all'altra individuano una regione interna limitata che è connessa ma non semplicemente connessa
4) un cerchio, un ellisse (contenuto incluso), una qualsiasi curva chiusa con l'interno tutto incluso (tutti tutti i punti) è connesso e semplicemente connesso
5) Un piano meno una retta non è connesso e allora non mi domando nemmeno se è semplicemente connesso
@gio73: io direi che è esattamente così.
Grazie per la pazienza Palliit
"gio73":
Ora ho capito! (credo...)
Provo di nuovo a fare degli esempi
1) un piano meno un buco (grande, grandissimo, ma anche piccolo piccolissimo, fino ad un punto) è connesso, ma non semplicemente connesso
2) una corona circolare è connessa ma non semplicemente connessa
3) due curve chiuse, di cui una interna all'altra individuano una regione interna limitata che è connessa ma non semplicemente connessa
4) un cerchio, un ellisse (contenuto incluso), una qualsiasi curva chiusa con l'interno tutto incluso (tutti tutti i punti) è connesso e semplicemente connesso
5) Un piano meno una retta non è connesso e allora non mi domando nemmeno se è semplicemente connesso
Scusate se mi intrometto. Ritengo che l'insieme definito al punto 5) sia semplicemente connesso, secondo le definizioni gìà riportate. Per quel che mi risulta l'essere "connesso" non è una condizione necessaria per il "semplicemente connesso".
AIUTOOOOOOOO
Geppo puo controllare le osservazioni che ho fatto qualche post fa?
Ora secondo me la questione si riduce ad una sola domanda fondamentale:
"Affinchè un insieme sia semplicemente connesso è indispensabile che sia ANCHE connesso?"
A seconda della risposta a questa domanda le considerazioni successive cambiano.
Geppo puo controllare le osservazioni che ho fatto qualche post fa?
Ora secondo me la questione si riduce ad una sola domanda fondamentale:
"Affinchè un insieme sia semplicemente connesso è indispensabile che sia ANCHE connesso?"
A seconda della risposta a questa domanda le considerazioni successive cambiano.
Figurati! Grazie a te gio73, e a tutto il forum, per l'occasione che mi date di riprendere un sacco di cose!
Riguardo all'intervento di Geppo (che saluto), farei riferimento a questo oppure a questo (pagina 5, la quinta riga a partire dal fondo), mi sembrano inequivocabili e decisamente autorevoli.
Riguardo all'intervento di Geppo (che saluto), farei riferimento a questo oppure a questo (pagina 5, la quinta riga a partire dal fondo), mi sembrano inequivocabili e decisamente autorevoli.
Grazie Palliit per la risposta (mi devo correggere!).
Purtuttavia un insieme come $D={(x,y)in RR^2 : xy != 0}$ è normalmente definito semplicemente connesso (cito come esempio "appunti di corso di matematica 2" Bennati Pedemonte unige) . Tutto questo ai fini di poter classificare esatta una forma differenziale chiusa.
In effetti comunque presa una curva $\gamma$ chiusa la cui traccia sia contenuta in D, tutti i punti racchiusi all'interno di $\gamma$ appartengono a D.Non si può considerare come $\gamma$ una circonferenza di centro O e raggio 1, in quanto non tutta contenuta in D.
Che il nodo della questione non sia che D è composto dai quattro quadranti aperti, ciacuno connesso e semplicemente connesso?
Purtuttavia un insieme come $D={(x,y)in RR^2 : xy != 0}$ è normalmente definito semplicemente connesso (cito come esempio "appunti di corso di matematica 2" Bennati Pedemonte unige) . Tutto questo ai fini di poter classificare esatta una forma differenziale chiusa.
In effetti comunque presa una curva $\gamma$ chiusa la cui traccia sia contenuta in D, tutti i punti racchiusi all'interno di $\gamma$ appartengono a D.Non si può considerare come $\gamma$ una circonferenza di centro O e raggio 1, in quanto non tutta contenuta in D.
Che il nodo della questione non sia che D è composto dai quattro quadranti aperti, ciacuno connesso e semplicemente connesso?
Ciao Geppo. Io direi che le cose stiano come prospetti nella conclusione del tuo intervento: mi pare appurato che l'insieme che indichi (sostanzialmente il piano privato degli assi) non si possa considerare, evidentemente, connesso e quindi sicuramente non lo è semplicemente; lo è ognuno dei quattro quadranti preso singolarmente. Del resto, non so che forma differenziale dovessi classificare, ma non è necessario che il dominio sia semplicemente connesso (vedi qua per esempio) per definirla esatta; è chiaro, peraltro, che qualunque curva chiusa contenuta nel dominio è tutta contenuta in un quadrante, quindi in un insieme semplicemente connesso. Almeno così la vedo io.
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