Campo vettoriale conservativo

[previ91]

Ciao a tutti ,

oggi è il giorno dei campi vettoriali , ed ecco il primo dubbio !

Dire se questo campo è conservativo e calcolarne l'eventuale potenziale : $ F(x,y) = (2 \sqrt(y)) /(x+1) i + x/(1+y) j $ .

Allora , correggetemi se sbaglio : un campo si dice conservativo se è definito su un dominio semplicemente connesso ed il rotore di tale campo è nullo (campo irrotazionale) , GIUSTO ?

In questo caso , il campo è definito su $R^2$ escluso il punto che annulla contemporaneamente i due denominatori , cioè $(-1,-1)$ , quindi $D=R^2 \backslash {(-1,-1)} $e se non sbaglio un dominio dato dal piano ad eccezione di un punto NON è semplicemente connesso. (Perchè non è semplicemente connesso?)

Quindi mi basta questo per dire che il campo non è conservativo ? Grazie

[dissonance]

"gio73":Una corona circolare è un insieme connesso, ma non è semplicemente connesso.

Ok

Se abbiamo un piano meno una retta/parabola/iperbole l'insieme non è connesso ma è semplicemente connesso

Dipende dalle convenzioni. Tipicamente se un insieme non è connesso allora ci si accorda che, per convenzione, esso non è nemmeno semplicemente connesso. Quindi in questo caso hai un insieme non connesso e non semplicemente connesso. Però, se ti restringi alle singole componenti connesse (le due porzioni di piano staccate dalla retta, dalla parabola o dall'iperbole), esse sono semplicemente connesse.

Se abbiamo un piano meno una circonferenza/ellisse (solo il bordo) non è connesso e non è semplicemente connesso

Ok. Anche qua, col discorso di prima abbiamo una regione semplicemente connessa (quella interna all'ellisse) e una non semplicemente connessa (quella esterna).

Un piano a meno di un punto è connesso, ma non è semplicemente connesso; la curva chiusa potrebbe stare intorno a quel punto.

Esatto.

[gio73]

Grazie dissonance, la questione mi sembra che non sia affatto immediata, come ho già detto all'università mi è stata insegnata solo la definizione di connesso e su quella ho ragionato, fatto esercizi, imparato.
Una definizione nuova a mio avviso necessita di un po' di riflessione, qualche esempio e qualche errore per poter essere digerita.

Ora spero di non tediarvi con questo spero ultimo esempio:

prendiamo il piano disegnamo la direttrice del I e III quadrante e la bisettrice di II e IV, il piano risulta diviso in quattro regioni (quattro angoli retti) consideriamo i due angoli opposti al vertice che contengono l'asse x. Consideriamo le bisettrici (le frontiere) escluse dal nostro insieme, è esclusa anche l'origine.
Ora il nostro insieme non è connesso (se avessi l'origine sì, ma non ce l'ho), risulta diviso in due regioni ciascuna delle quali è semplicemente connessa.

Mi è uscita fuori riflettendo su questa $ln(x^2-y^2)$

[Palliit]

Mi trovi pienamente d'accordo, gio73, e mi pare coerente con il contenuto dell'intervento di dissonance. Dovevi trovare il dominio di quel $\ln$ ?

[gio73]

Sì, in realtà l'esercizio è molto più lungo, è stato proposto da un nuovo utente che è un po' restio a partecipare con sue considerazioni, ma a questo punto mi interessa. Sto aspettando che si faccia vivo con qualche idea, se poi desiste aspetto un po' e lo ripropongo così ne discutiamo e avrò la soddisfazione di finirlo, ad ogni modo eccolo

[Plepp]

"gio73":
Se abbiamo un piano meno una retta/parabola/iperbole l'insieme non è connesso ma è semplicemente connesso

Ciao Gio. Mi pare di no...tra l'altro, se non sbaglio, nella definizione di insieme semplicemente connesso si richiede che l'insieme in questione sia connesso (Dissonance mi corregga se sbaglio).

EDIT: d'oh scusate ragazzi...ero rimasto indietro di una ventina di post

[gio73]

Ciao Giuseppe io ci ho messo una ventina di post a capire la differenza tra connesso e semplicemente connesso, ancora un esempio:
se avessi come insieme due angoli opposti al vertice con vertice compreso nell'insieme, il nostro insieme sarebbe connesso, a mio avviso anche semplicemente connesso perchè qualsiasi linea chiusa interna all'insieme potrebbe essere ridotta ad un punto.
In attesa dell'intervento conclusivo di Previ

Cordiali Saluti

[Geppo2]

"gio73":
se avessi come insieme due angoli opposti al vertice con vertice compreso nell'insieme, il nostro insieme sarebbe connesso, a mio avviso anche semplicemente connesso perchè qualsiasi linea chiusa interna all'insieme potrebbe essere ridotta ad un punto.

Ciao gio. Sono d'accordo. Penso che molti disguidi nascano dal fatto che alcuni testi definiscano "semplicemente connesso" anche un'unione disgiunta di aperti semplicemente connessi. Questo al fine pratico di poter affermare "esatta" ogni forma differenziale "chiusa" e $C^1$ in semplicemente connesso, e quindi che la circuitazione è zero. Guarda cosa dice dissonance post444685.html#p444685 e in particolare al caso 2.