Campo vettoriale conservativo.

[rrr93]

Salve, il seguente campo:
$F(x,y)=x/(x^2+y^2)i+y/(x^2+y^2)j$ definito su $R^(2)$\$ [0,0]$
è conservativo?

[Berationalgetreal]

Scriviamo il campo con la notazione delle forme differenziali:

\[ \omega = \frac{x}{x^2 + y^2} dx + \frac{y}{x^2 + y^2} dy \]

Se la forma $ \omega$ è esatta, allora il campo vettoriale $F$ è conservativo.

Visto l'insieme di definizione, la maniera più semplice per verificare l'esatta è trovare una primitiva.

Usiamo il metodo delle costanti:

\[ \int \frac{x}{x^2 + y^2} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2 + y^2) + C(y) = \clubsuit \]
dove $C(y)$ è qualcosa di costante rispetto ad $x$ ma non rispetto ad $y$.

Adesso deriviamo parzialmente rispetto ad $y$ ciò che abbiamo trovato:
\[ \frac{\partial \clubsuit}{\partial y} = \frac{y}{x^2 + y^2} + C'(y) \]

Dal momento che

\[ \frac{y}{x^2 + y^2} \] deve essere uguale a
\[\frac{y}{x^2 + y^2} + C'(y) \]

deduciamo che $C(y)$ è costante anche rispetto ad $y$.

Dunque, la primitiva di $\omega$ è
\[ \frac{1}{2} \ln (x^2 + y^2) + K, \ K \in \mathbb{R} \]

Dal momento che ammette primitiva, la forma differenziale è esatta. Quindi il campo è conservativo.

[rrr93]

Grazie