Campo vettoriale

[20021991]

Salve a tutti. Mi è dato il campo vettoriale $\vec{F}(x,y,z) = 3x^2y\vec{i} + x^3\vec{j} -1/z\vec{k} $

e mi viene chiesto di calcolare un suo potenziale nel qual caso fosse conservativo.

Calcolando il rotore verifico che $ \vec{F} $ è irrotazionale e quindi posso concludere che il campo è localmente conservativo.

Tuttavia per poter calcolare il potenziale, il campo dev'essere conservativo dappertutto.
Il mio libro dice che $\vec{F}$ è conservativo in $ R^3 $ perché $ R^3 $ è semplicemente connesso.

Ma mi domando: il dominio del campo vettoriale non è $ R^3 $ con z diverso da 0??? Se sì, non sarebbe semplicemente connesso. Dove sbaglio?

[ciampax]

Io sono perfettamente d'accordo con te: quel campo non è conservativo su tutto lo spazio. Tra l'altro basterebbe calcolare il suo lavoro lungo due cammini diversi che attraversano il piano $z=0$ per verificarlo. Oppure verificare che localmente il suo potenziale risulta $U(x,y,z)=x^3 y-\log|z|+c$ che non è definito sul piano $z=0$.

[20021991]

Riporto le parole del libro:

Il rotore del campo è nullo in $ R^3 $ (semplicemente connesso), quindi il campo è conservativo. Un potenziale è ad esempio:

(viene scritto nella forma di integrale da (0,0,1) a (x,y,z))

[ciampax]

Mah... quello non è definito in $z=0$. Sinceramente non capisco.

[20021991]

Opti per un errore del libro?

[ciampax]

Mah, a me pare che dica qualcosa senza senso. Voglio dire, il campo non è definito in $z=0$, per cui sarà irrotazionale nelle due componenti che costituiscono il suo dominio. Boh, mi sembra scritto tutto in modo molto impreciso.