Campo Num. Complessi

[Ryuzaky*]

Studiando i numeri complessi mi sono ritrovato davanti questo passaggio :

Pertanto la terna ($R,+,\cdot $) è un campo, ovvero un anello commutativo con unità in cui ogni elemento non nullo ammette inverso. Esso viene definito campo dei numeri complessi e si denota con C e i suoi elementi si chiamano numeri complessi.

Denotiamo con R' il sottoinsieme di C tale che $R'={(a,0)|a,0 \epsilon R}$ . Si verifica facilmente che l'applicazione:

$f : a \epsilon R \rightarrow (a,0)\epsilon R$


è biunivoca e conserva le operazioni + e $\cdot$ . Per tale motivo si identifica l'iniseme R dei numeri reali con il sottoinsieme R' di C ed ogni numero complesso del tipo (a,0) col numero reale a, cioè si pone:

(a,0) = a

Vorrei chiedere (per favore ) un chiarimento sul passaggio :

Si verifica facilmente che l'applicazione:

$f : a \epsilon R \rightarrow (a,0)\epsilon R$


è biunivoca e conserva le operazioni + e $\cdot$ . Per tale motivo si identifica l'iniseme R dei numeri reali con il sottoinsieme R' di C ed ogni numero complesso del tipo (a,0) col numero reale a, cioè si pone:

(a,0) = a

Per quale motivo a = (a, 0) ?

[vict85]

Perché identifica \(\displaystyle \mathbb{C} \) con \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) su cui sono definite le operazioni di somma per componenti e moltiplicazione complessa.

La prima componente è quella reale mentre la seconda complessa. Quindi manda \(\displaystyle a\in \mathbb{R} \) in \(\displaystyle a+0i\in \mathbb{C} \)

[Ryuzaky*]

Ma qual'è l'utilità di questa osservazione ?
E cosa intende per conserva somma e prodotto ?

[vict85]

"Ryuzaky*":Ma qual'è l'utilità di questa osservazione ?
E cosa intende per conserva somma e prodotto ?

immagino tu non abbia studiato le strutture algebriche altrimenti semplicemente è equivalente a dire che è un isomorfismo di campi.

Presupponendo che tu non abbia compreso la frase sopra vuol dire solamente che \(\displaystyle f(a+b) = f(a)+f(b) \) e \(\displaystyle f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b) \)

L'utilità è solamente quella di dare una certa correttezza formale al fatto che un numero reale è anche complesso.

[vict85]

Informalmente tu sarai immagino abituato a lavorare con i complessi come se fossero \(\displaystyle\mathbb{R}\) a cui aggiungi $i$ e i suoi multipli. Ma in matematica per lavorare con i complessi devi definirli e la definizione scritta sopra non va bene: cosa significa che è una estensione di \(\displaystyle\mathbb{R}\)? cosa vuol dire aggiungere $i$ e i suoi multipli?

Per la seconda parte si è provveduto a identificare \(\displaystyle\mathbb{C}\) con una coppia di reali. E quindi si sono definite le usuali operazioni sui complessi (che altro non sono che funzioni \(\displaystyle\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to \mathbb{C}\)).

Ma questo insieme non contiene \(\displaystyle\mathbb{R}\) (almeno formalmente). La funzione $f$ serve appunto a questo scopo. In pratica serve ad identificare una copia (identica in tutto) a \(\displaystyle\mathbb{R}\) in \(\displaystyle\mathbb{C}\). E quindi permettere di lavorare su questo sottoinsieme come se fosse \(\displaystyle\mathbb{R}\).

Un lavoro simile tra l'altro è stato fatto nella definizione di \(\displaystyle\mathbb{Z}\), \(\displaystyle\mathbb{Q}\) ed \(\displaystyle\mathbb{R}\). Ogni volta identificando quello più piccolo in un sottoinsieme di quello più grosso.