Campo elettostatico di un anello carico
Save a tutti, so che il titolo potrebbe far pensare che questa non sia la sezione adatta per questo argomento, ma il problema che ho incontrato studiando fisica è di tipo matematico.
Si vuole trovare il campo elettrico di un anello \( \gamma\) : \( \displaystyle r(t)=(x_0,Rcos t, Rsen t)\) in un punto \(\displaystyle (x_0,0,0) \).
Si ha quindi un anello su un piano yz con centro in \(\displaystyle x_0 \) e raggio R.
Definito il campo elettrostatico \( E(x,y,z)= k*q* \frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| } \)
Essendo \( \rho \) la densità di carica, per trovare il campo prodotto da una distribuzione continua di cariche si usa \( E(x,y,z)= k* \displaystyle\iiint_\Sigma \rho(x,y,z)*\frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| }dS \ \)
In questo caso considerando \( \rho \) costante, l'integrale esteso all'anello diventa: \( E(x,0,0)= k*\rho \displaystyle\int_\gamma \frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| } dr\ \)
Domanda: è lecito fare questo?
andando avanti infatti si ottiene qualcosa di sbagliato
\( E(x,0,0)= k*\rho \displaystyle\int_\gamma \frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| } dr\ =
E(x,0,0)= k*\rho \displaystyle\int_\gamma \frac {(x-x_0,0,0)} {\|x-x_0\| } dr\ \)
che risulta zero essendo \(r'(t)=(0,-sent,cost)\)
Dove sto sbagliando?!
La soluzione a questo problema è facilmente ottenibile considerando le simmetrie del problema, ma a me interessa capire che cosa sbaglio qui.
Grazie in anticipo!
Si vuole trovare il campo elettrico di un anello \( \gamma\) : \( \displaystyle r(t)=(x_0,Rcos t, Rsen t)\) in un punto \(\displaystyle (x_0,0,0) \).
Si ha quindi un anello su un piano yz con centro in \(\displaystyle x_0 \) e raggio R.
Definito il campo elettrostatico \( E(x,y,z)= k*q* \frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| } \)
Essendo \( \rho \) la densità di carica, per trovare il campo prodotto da una distribuzione continua di cariche si usa \( E(x,y,z)= k* \displaystyle\iiint_\Sigma \rho(x,y,z)*\frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| }dS \ \)
In questo caso considerando \( \rho \) costante, l'integrale esteso all'anello diventa: \( E(x,0,0)= k*\rho \displaystyle\int_\gamma \frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| } dr\ \)
Domanda: è lecito fare questo?
andando avanti infatti si ottiene qualcosa di sbagliato
\( E(x,0,0)= k*\rho \displaystyle\int_\gamma \frac {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} {\|(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\| } dr\ =
E(x,0,0)= k*\rho \displaystyle\int_\gamma \frac {(x-x_0,0,0)} {\|x-x_0\| } dr\ \)
che risulta zero essendo \(r'(t)=(0,-sent,cost)\)
Dove sto sbagliando?!
La soluzione a questo problema è facilmente ottenibile considerando le simmetrie del problema, ma a me interessa capire che cosa sbaglio qui.
Grazie in anticipo!
Risposte
quando mi riconduco all'integrale di linea, per \(\rho\) intendo la densità lineare di carica, cioè la carica contenuta nell'unità di lunghezza della circonferenza dell'anello
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