Campo e potenziale

[belgy]

E(x,y)= [Sinx + Cosy + (x-y)Cosx ; (x-y)Siny - Sinx - Cosy]
controllare se il campo è conservativo
calcolare il potenziale che vale 1 nel punto(0,pi)

per il primo punto basta fare le derivare incrociate ed uguaglierle, ma poi?!

[Sk_Anonymous]

Cosi' facendo controlli solo se la forma differenziale associata al campo e' chiusa. Per concludere che si tratta di una forma esatta, ti basta verificare che e' definita e continua su un insieme stellato. Mi pare che la forma postata sia definita e continua su tutto R^2, e quindi e' esatta.

Ora e' facile trovare il potenziale richiesto. Basta integrare la forma su una curva qualunque che connette (0,\pi) con (x,y) generico: tale integrale sara' p(x,y)-1, dove p e' il potenziale richiesto.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

...temo di non aver capito, potresti farmi un esempio per entrambi i punti?!

[Sk_Anonymous]

Per il primo punto ho solo usato un Teorema che ti dice che una forma chiusa su un insieme stellato e' esatta. (Hai gia' verificato tu che si tratta di una forma chiusa, giusto?)

Per il secondo punto, devi integrare la forma sulla piu' facile curva che connette (0,\pi) con (x,y); io prenderei il segmento. Calcoli quindi l'integrale lungo il segmento di E prodotto scalare dl, con dl elemento di lunghezza. Per l'esattezza della forma, questo integrale ti deve dare p(x,y)-p(0,\pi)=p(x,y)-1, se p denota il potenziale richiesto.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[asdf4]

C'è qualcosa che non quadra: non è neanche una forma chiusa visto che la d.p. della prima componente rispetto a y mi sembra faccia -siny - cosx e quella della seconda rispetto a x fa siny - cosx...

Marco

[belgy]

anche a me risulta che le derivate incrociate sono diverse... però mi sembra strano perchè esclude la seconda domanda...

per il potenziale ho trovato una formulazza
Pot=int Ex dx + C(y)

con c(y)= int [Ey - d(int Ex dx)/dy] dy

[david_e1]

E(x,y)= A(x,y) dx + B(x,y) dy

Un metodo alternativo per trovare il potenziale. (Che secondo me e' migliore perche' richiede meno conti ed e' piu' facile capire se si e' sbagliato)

(Scrivo il campo come forma differenziale.)

Per prima cosa ricordiamoci che cerchiamo nel potenziale una funzione f t.c.:

(d/dx) f(x,y) = A
(d/dy) f(x,y) = B

A questo punto integriamo una delle due (ad esempio la prima)

f(x,y) = int (A dx) + C(y) + C

C(y) e' una funzione che dipende dalla sola y (se la forma differenziale e' chiusa (idem se il campo e' irrotazionale))

Determiniamola imponendo la seconda condizione:

(d/dy) f(x,y) = (d/dy) int (A dx) + C'(y) = B

Per trovare la C (la costante) uso l'informazione che il campo in un certo punto (x0,y0) deve avere un valore K

Pongo f(x0,y0)=K e trovo C.

[Sk_Anonymous]

Questo e' il metodo che insegno sempre anche io ai miei studenti, ed anche secondo me rimane il migliore poiche' in un colpo dimostri esattezza ad hai in mano gia' il potenziale.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[david_e1]

Credevo che fosse una esclusiva della mia esercitatrice di Analisi B, invece e' molto in voga al poli.....

[Sk_Anonymous]

No, non e' in voga al politecnico di Milano, credo che io sia uno dei pochi che fa cosi'.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

cosa vi risulta?!

[Sk_Anonymous]

Cosa? Se la forma non e' chiusa, il potenziale non esiste.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[belgy]

con questo metodo si arriva ad un potenziale...
voi cosa trovate?

[Sk_Anonymous]

Attenzione: quel metodo illustrato ti fa arrivare ad un potenziale solo se la forma e' esatta. La forma in questione non e' chiusa, quindi non puo' essere esatta. Di conseguenza quel metodo, in qualche passaggio, dovrebbe saltare, ovvero non dovresti concluderlo.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it