Campo di esistenza funzioni in più variabili

[marcook1]

Dato che il mio professore per l'esame di analisi non fa altro che mettere funzioni con l'arcoseno, vorrei che mi aiutaste a migliorare la mia cognizione nel trovare il campo di esistenza e magari dandomi consigli utili per superare indenne questi passaggi. Inizio scrivendo un esercizio che ho, faccio il mio ragionamento e vorrei che mi aiutaste correggendomi in caso di errori.

Trovare il C.E. della funzione $f(x,y)= root(4)(y-x) sqrt(arcsin(x^2+y^2-1))$e disegnarlo

Per quanto riguarda l'esistenza di $root(4)(y-x)$ essendo la radice di ordine pari $\Rightarrow$ $(y-x)>=0$ $\Rightarrow$ $y>=x$

Invece per $sqrt(arcsin(x^2+y^2-1))$ dovremo imporre:

$(arcsin(x^2+y^2-1)>=0$ : la radice è di secondo grado, pertanto questa condizione serve per l'esistenza della radice; sotto le opportune ipotesi di invertibilità, l'argomento dell'arcoseno per esistere deve essere compreso tra -1 e 1 ma in questo caso, vogliamo solamente la parte positiva della funzione pertanto dovremo limitarci a valori compresi tra 0 ed 1. Quindi in definitiva $0<=x^2+y^2-1<=1$
Questa condizione si trasforma sostanzialmente in $0<=x^2+y^2-1$ e $x^2+y^2-1<=1$ che riscritte in maniera più idonea si trasformano in:
$x^2+y^2-1>=0$ : circonferenza di raggio $1$ e centro in $(0,0)$

$x^2+y^2-1<=1$ $=>$ $x^2+y^2-2<=0$ : circonferenza di raggio $sqrt(2)$ e centro in $(0,0)$

Qui di seguito nel seguente post (non l'ho potuto fare in questo perchè i codici dellìAsvg andavano in conflitto con i tex) i grafici.

[marcook1]

Quindi il disegno delle restrizioni sarà:
[asvg]axes("labels", "grid"); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("y=x"); // disegna la funzione y=x
stroke="green";
circle([0,0], 1);
stroke="blue";
circle([0,0], 1.4241);[/asvg]

Mentre il campo di esistenza è quello evidenziato in arancione:


Spero di essere stato chiaro e soprattutto di aver fatto bene! Ringrazio anticipatamente a chi risponderà

PS: Dimenticavo, buon anno a tutti!!!!!

[salvozungri]

"marcook":Dato che il mio professore per l'esame di analisi non fa altro che mettere funzioni con l'arcoseno, vorrei che mi aiutaste a migliorare la mia cognizione nel trovare il campo di esistenza e magari dandomi consigli utili per superare indenne questi passaggi. Inizio scrivendo un esercizio che ho, faccio il mio ragionamento e vorrei che mi aiutaste correggendomi in caso di errori.

Trovare il C.E. della funzione $f(x,y)= root(4)(y-x) sqrt(arcsin(x^2+y^2-1))$e disegnarlo

Per quanto riguarda l'esistenza di $root(4)(y-x)$ essendo la radice di ordine pari (indice pari) $\Rightarrow$ $(y-x)>=0$ $\Rightarrow$ $y>=x$ (ok)

Invece per $sqrt(arcsin(x^2+y^2-1))$ dovremo imporre:

$arcsin(x^2+y^2-1)>=0$ : la radice è di secondo grado (forse intendi che la radice ha indice 2 ), pertanto questa condizione serve per l'esistenza della radice; sotto le opportune ipotesi di invertibilità, l'argomento dell'arcoseno per esistere deve essere compreso tra -1 e 1 ma in questo caso, vogliamo solamente la parte positiva della funzione pertanto dovremo limitarci a valori compresi tra 0 ed 1. Quindi in definitiva $0<=x^2+y^2-1<=1$ (ok)
Questa condizione si trasforma sostanzialmente in $0<=x^2+y^2-1$ e $x^2+y^2-1<=1$ che riscritte in maniera più idonea si trasformano in:
$x^2+y^2-1>=0$ : circonferenza di raggio $1$ e centro in $(0,0)$ (Attento, [tex]x^2+y^2-1\ge 0[/tex] è ben lontano dall'essere una circonferenza )

$x^2+y^2-1<=1$ $=>$ $x^2+y^2-2<=0$ : circonferenza di raggio $sqrt(2)$ e centro in $(0,0)$ (come prima [tex]x^2+y^2\le2[/tex] non è una circonferenza )

Qui di seguito nel seguente post (non l'ho potuto fare in questo perchè i codici dellìAsvg andavano in conflitto con i tex) i grafici.

I grafici sono corretti così come i conti . le mie sono solo correzioni di tipo semantico e nulla più. Spero tu non mi consideri cattivo per questo e soprattutto Buon Anno a te

[marcook1]

No non mi offendo anzi ti ringrazio, perchè noi poveri Ingegneri anche se ce ne fanno fare tanta di matematica non è che la amiamo tantissimo

Mi puoi spiegare perchè dici che è ben lontano da essere una circonfernza? Vediamo se ho ben capito: se è $x^2+y^2=1$ parliamo di circonferenza, altrimenti col maggiore e uguale o altre robe di quadriche vero?

[Fioravante Patrone1]

"marcook":
Mi puoi spiegare perchè dici che è ben lontano da essere una circonfernza? Vediamo se ho ben capito: se è $x^2+y^2=1$ parliamo di circonferenza, altrimenti col maggiore e uguale o altre robe di quadriche vero?

No, le quadriche non c'entrano.

$x^2+y^2=1$ è una circonferenza

$x^2+y^2 \le 1$ è un cerchio

$x^2+y^2 \ge 1$ è la parte esterna a un cerchio (circonferenza compresa, però)


E buon anno anche da parte mia!

[marcook1]

"Fioravante Patrone":[quote="marcook"]
Mi puoi spiegare perchè dici che è ben lontano da essere una circonfernza? Vediamo se ho ben capito: se è $x^2+y^2=1$ parliamo di circonferenza, altrimenti col maggiore e uguale o altre robe di quadriche vero?

No, le quadriche non c'entrano.

$x^2+y^2=1$ è una circonferenza

$x^2+y^2 \le 1$ è un cerchio

$x^2+y^2 \ge 1$ è la parte esterna a un cerchio (circonferenza compresa, però)


E buon anno anche da parte mia![/quote]

E' vero che stupido....non ho mai pensato alla questione in questo senso ho sempre fatto tutto meccanicamente senza rendermene conto

Grazie 1000