Campo di esistenza di una funzione: sbagliato all'esame!

Baldur1
Ieri ho sostenuto l'esame di matematica, questo era uno degli esercizi, che ho sbagliato:

Determinare il campo di esistenza della funzione:

$f(x) = \sqrt(5-ln(e^x - 5))$

Ho messo subito a sistema le due disequazioni:

${(5-ln(e^x -5)>= 0),(e^x -5 > 0):}$

Ma ho avuto difficoltà alla risoluzione delle stesse.... tra cambiamenti di variabili ecc mi sono perso non poco. Voi come le risolvereste? Grazie

Paolo

Risposte
gugo82
Perché hai cambiato le variabili?
Non ce n'è bisogno... Tutte le disequazioni sono logaritmiche ed esponenziali di primo grado e si risolvono così come si presentano, senza trucchi.

Come hai risolto tu?

Baldur1
La prima:

$5-ln(e^x -5)>= 0$

Ho portato il logaritmo dall'altra parte, ottendendo

$5>= ln(e^x -5)$

Poi ho trasformato il $5$ in $lne^5$ e applicato una delle proprietà dei logaritmi:

$e^5>= e^x -5$ -> $e^x <= e^5 + 5$ E poi?

gugo82
E poi risolvi quell'equazione esponenziale prendendo i logaritmi ad ambo i membri.

Baldur1
In che senso prendendo i logaritmi ad ambo i membri?

Noisemaker
\[e^x \le e^5 + 5\quad\Leftrightarrow\quad \ln e^x \le \ln(e^5 + 5)\quad\Leftrightarrow\quad x\le \ln(e^5 + 5) \]

Baldur1
Come si giunge a quella conclusione? Prima tolgo i logaritmi e poi li rimetto?

Per quanto riguarda la seconda,

$e^x -5 > 0$

$e^x > 5 -> x > ln5$.

Conclusione: $CE = (ln5, ln(e^5 + 5)]$

QUanto mi sto mangiando le mani.... potevano essere tre punti in più :(((

gugo82
Eliminando il logaritmo ti sei ricondotto ad un'equazione del tipo \(e^x\leq e^5+5\).
Posto \(a=e^5+5 >0\), per determinare \(x\) devi risolvere \(e^x\leq a\): questo lo sai fare perché scrivi \(a=e^{\log a}\) ed hai immediatamente \(x\leq \log a\).
Per terminare, risostituisci \(a=e^5+5\) ed ottieni il risultato finale, cioè \(x\leq \log (e^5+5)\).

Ad ogni modo, ti consiglio di rivedere come si risolvono le disequazioni sul libro delle superiori.

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