Campo di esistenza
salve
il campo di esistenza della funzione y=x^n con n dispari è tutto R
il campo di esistenza dell'inversa di tale funzione:
y=x^(1/3) non è cmq tutto R?????
il campo di esistenza della funzione y=x^n con n dispari è tutto R
il campo di esistenza dell'inversa di tale funzione:
y=x^(1/3) non è cmq tutto R?????
Risposte
entrambe le funzioni sono verificate nel campo reale
Siamo sempre al solito eterno problema del campo di esistenza di una funzione; il dominio di esistenza di una funzione non ha una definizione vera e propria, ma va assegnato insieme alla funzione stessa.
Certo, infatti si potrebbe dire benissimo:
sia $f:[0,+oo)->RR$ la funzione definita da $f(x)=x^(1/3) " " AAx in [0,+oo)$
Ma dato che la scrittura $x^(1/n)$ ha
senso $AAx in RR$ se n è dispari, possiamo definire:
$f:RR->RR, " " f(x)=x^(1/n) " " AAx in RR$
sia $f:[0,+oo)->RR$ la funzione definita da $f(x)=x^(1/3) " " AAx in [0,+oo)$
Ma dato che la scrittura $x^(1/n)$ ha
senso $AAx in RR$ se n è dispari, possiamo definire:
$f:RR->RR, " " f(x)=x^(1/n) " " AAx in RR$
"goldengirl":
entrambe le funzioni sono verificate nel campo reale
Scusa, ma che vuol dire che una funzione è verificata in un insieme?
Però scusate:
$x^{1/3}=x^{2/6}=(\root[6]{x})^2$ Quindi da qui si vede che non si possono prendere valori negativi in $RR$. Però è anche vero che il secondo termine può esser scritto come: $\root[6](x^2)$. Adesso ha senso considerare anche le x negative. Quindi Per evitare questo tipo di confusione mi sembra che per convenzione si consideri anche nel caso di $x^{1/n}$ con $n$ dispari come dominio massimale $RR^+$. In effetti $x^{1/3}\ne\root[3]{x}$, ossia le due scritture sono non proprio uguali.
$x^{1/3}=x^{2/6}=(\root[6]{x})^2$ Quindi da qui si vede che non si possono prendere valori negativi in $RR$. Però è anche vero che il secondo termine può esser scritto come: $\root[6](x^2)$. Adesso ha senso considerare anche le x negative. Quindi Per evitare questo tipo di confusione mi sembra che per convenzione si consideri anche nel caso di $x^{1/n}$ con $n$ dispari come dominio massimale $RR^+$. In effetti $x^{1/3}\ne\root[3]{x}$, ossia le due scritture sono non proprio uguali.
le funzioni sono definite in tutto &RR&
meglio cosi?
meglio cosi?
"cavallipurosangue":
Però scusate:
$x^{1/3}=x^{2/6}=(\root[6]{x})^2$
Non è così Valerio... $x^(2/6)=root(6)(x^2) != (root(6)(x))^2$ !!!
scusate ma è vero che:
$x^(1/3)=root(3)(x)$??
$x^(1/3)=root(3)(x)$??
Vedi il fatto è che se si prende tutto $RR$ quello che ho scritto non sarebbe vero, ma il fatto è che siccome si vuole che ciò sia vero, allora si prende solo $RR^+$.
Cmq vedo se trovo qualcosa in rete.
Cmq vedo se trovo qualcosa in rete.
Ecco, mi sembrava di averlo già visto qui...
Se volete potete leggervi la parte relativa alle potenze cliccando qui
Se volete potete leggervi la parte relativa alle potenze cliccando qui
La definizione di radice n-esima è precisa e
viene da un certo Teorema:
sia $y in RR$, $y>=0$, $n in NN$, $n>=1$.
Allora esiste uno ed un solo $x in RR$, $x>=0$,
tale che $x^n=y$. Tale numero reale x viene
indicato con i simboli $root(n)y$ OPPURE
$y^(1/n)$ e si chiama radice n-esima di $y$...
viene da un certo Teorema:
sia $y in RR$, $y>=0$, $n in NN$, $n>=1$.
Allora esiste uno ed un solo $x in RR$, $x>=0$,
tale che $x^n=y$. Tale numero reale x viene
indicato con i simboli $root(n)y$ OPPURE
$y^(1/n)$ e si chiama radice n-esima di $y$...
Poi il mio libro prosegue così.
OSSERVAZIONE
Se n è dispari si può definire la radice n-esima
di un numero negativo y:
$y in RR, y<0, "n dispari"=>root(n)y-=-root(n)(-y)
(si noti che $-y>0$ e $(-root(n)(-y))^n=(-1)^n(-y)=y$
poiché n è dispari). Se n è pari la $root(n)y$ non è
definita per $y<0$, in altre parole $x^n=y<0$ non
ha soluzione (in $RR$).
OSSERVAZIONE
Se n è dispari si può definire la radice n-esima
di un numero negativo y:
$y in RR, y<0, "n dispari"=>root(n)y-=-root(n)(-y)
(si noti che $-y>0$ e $(-root(n)(-y))^n=(-1)^n(-y)=y$
poiché n è dispari). Se n è pari la $root(n)y$ non è
definita per $y<0$, in altre parole $x^n=y<0$ non
ha soluzione (in $RR$).
Sicuramente hai ragione te...
Più che io, direi il mio libro... 
In effetti però credo che anche tra vari testi siano riportate opinioni contrastanti... Non è la prima volta infatti che sento discutere di questo fatto...
No, non è la prima volta che si discute, ma si discute su un problema che non sussiste, poichè il dominio di una funzione non è un qualcosa che va dedotto dall'espressione della funzione stessa, ma fa parte della definizione di una funzione.
Io posso definire la funzione radice cubica in tutto $\RR$ così come mi posso limitare a $[0,+\infty)$.
Io posso definire la funzione radice cubica in tutto $\RR$ così come mi posso limitare a $[0,+\infty)$.
Giusto Luca... E' quello che avevo detto anche io all'inizio infatti...
Stando però a quello che ho letto se definisco $x^{1/3}$ su tutto $RR$ non perdo una proprietà importante? Ossia che $x^{mn}=(x^m)^n=(x^n)^m$? Infatti sulle dispense che vi ho dato proprio questo c'è scritto...
Sì, la perdi ovviamente. Dipende da cosa ci vuoi fare con $x^(1/3)$ definita su tutto $\RR$. Le proprietà dei radicali sono vere per i radicali aritmetici di solito; ma nulla vieta di avere dei radicali algebrici. Che poi abbia scarsa utilità in tal caso avere il radicale ben definito anche su $(-\infty,0)$ sono d'accordo con te.
Per completezza riporto anche una vecchia discussione...:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... rive#51364
Cmq si capisco che vuoi dire.
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... rive#51364
Cmq si capisco che vuoi dire.
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