Campo di direzioni di equazioni differenziali
Di quale equazione differenziale si tratta?
a) $y^{\prime} = y(1-y)$
b) $y^{\prime} = x(1-2y^2)$
c) $y^{\prime} = cos(piy)$
d) $y^{\prime} = x*sin(piy)$
Avete qualche consiglio? Non so da dove iniziare.
So lavorare con i campi di direzione ma con funzioni normali, non con eq differenziali...
Aiutatemi grazie!!!!!!!!!!!!!
Risposte
innanzitutto, puoi notare dal grafico che le pendenze sono uguali fissato un y, cioè le pendenze non dipendono da x fissato un y, pertanto l'eq. diff. è autonoma: puoi scartare la b) e la d).
Ora noti, sempre dal grafico, che le sol di equilibrio sono $y=+-1/2$ (tangente orizzontale). Le sol di equilibrio si ottengono ponendo y'=0; $y=+-1/2$ guarda caso sono le radici di $cos(piy)=0$
Ora noti, sempre dal grafico, che le sol di equilibrio sono $y=+-1/2$ (tangente orizzontale). Le sol di equilibrio si ottengono ponendo y'=0; $y=+-1/2$ guarda caso sono le radici di $cos(piy)=0$
"luca.barletta":
Ora noti, sempre dal grafico, che le sol di equilibrio sono $y=+-1/2$ (tangente orizzontale)
Questo mi è chiaro
"luca.barletta":
innanzitutto, puoi notare dal grafico che le pendenze sono uguali fissato un y, cioè le pendenze non dipendono da x fissato un y, pertanto l'eq. diff. è autonoma: puoi scartare la b) e la d).
Questo no. Io provavo a sostituire dei numeri e guardavo le pendenze. Insomma facevo una tabella delle pendenze nei vari punti. Ma ci metto 7 ore a farlo per tutte e 4. Non riesco a vederlo come fai tu SuperLuca! Sono nella m.....
"luca.barletta":
Le sol di equilibrio si ottengono ponendo y'=0; $y=+-1/2$ guarda caso sono le radici di $cos(piy)=0$
Perché $y'=0$? E poi le radici non so neanche cosa sono...
(se mi mandi a quel paese ti do' ragione...)
"Giova411":
[quote="luca.barletta"]innanzitutto, puoi notare dal grafico che le pendenze sono uguali fissato un y, cioè le pendenze non dipendono da x fissato un y, pertanto l'eq. diff. è autonoma: puoi scartare la b) e la d).
Questo no. Io provavo a sostituire dei numeri e guardavo le pendenze. Insomma facevo una tabella delle pendenze nei vari punti. Ma ci metto 7 ore a farlo per tutte e 4. Non riesco a vederlo come fai tu SuperLuca! Sono nella m.....[/quote]
Ad es. per y=-1 vedi che la pendenza è sempre la stessa per ogni x, e questo accade per ogni y=a che scegli, quindi l'espressione $y'=f(x,y)$ in realtà si riduce a $y'=f(y)$, cioè la pendenza non dipende dalla x. Si dice che l'eq diff è autonoma.
"luca.barletta":
Le sol di equilibrio si ottengono ponendo y'=0; $y=+-1/2$ guarda caso sono le radici di $cos(piy)=0$
Perché $y'=0$? E poi le radici non so neanche cosa sono...
(se mi mandi a quel paese ti do' ragione...)
le sol di equilibrio si trovano per y'=0, cioè quando f(x,y)=0, quindi sono date dalle radici (soluzioni) di questa equazione. Allora noti che $y=+-1/2$ sono proprio le soluzioni dell'equazione $cos(piy)=0$
Guardare se l'eq è autonoma.
Questo lo faccio vedendo che in ogni punto x o y sono sono sempre nella stessa direzione.
I segmenti si ripetono uguali (o orizontalmente per la y, o verticalmente per la x)
Cioé una var non dipende dall'altra.
Se è così escludo le soluzioni che mi propongono la dipendenza.
Poi cerco eventuali asintoti della f?
In quei punti la $f^{\prime} = 0$ (in questo caso: la $y^{\prime}= cos(piy)$ e mi chiedo: dove la derivata $cos(piy)=0$? Ma in +-$1/2*pi$...)
Ma se non è autonoma? Sono nella cacca.
Devo fare la tabellina con le pendenze, sostituendo i numerelli ecc ecc. Lavoro assurdo??
Questo lo faccio vedendo che in ogni punto x o y sono sono sempre nella stessa direzione.
I segmenti si ripetono uguali (o orizontalmente per la y, o verticalmente per la x)
Cioé una var non dipende dall'altra.
Se è così escludo le soluzioni che mi propongono la dipendenza.
Poi cerco eventuali asintoti della f?
In quei punti la $f^{\prime} = 0$ (in questo caso: la $y^{\prime}= cos(piy)$ e mi chiedo: dove la derivata $cos(piy)=0$? Ma in +-$1/2*pi$...)
Ma se non è autonoma? Sono nella cacca.
Devo fare la tabellina con le pendenze, sostituendo i numerelli ecc ecc. Lavoro assurdo??
se non fosse autonoma cerca comunque quelle curve che soddisfano la f(x,y)=0 e vedi se coincidono nel grafico
Con le domande stupide capisco le cose + importanti:
Ma quel +-1/2 con pendenza uguale a zero... Che cos'é l'asintoto della f? (1 cavolata)
Poi il grafico in questione cosa potrebbe essere? Il $sin piy$??? (2 cavolata)
GRAZIE INFINITE!
Hai il dottorato in matematica, dì la verità...
Ma quel +-1/2 con pendenza uguale a zero... Che cos'é l'asintoto della f? (1 cavolata)
Poi il grafico in questione cosa potrebbe essere? Il $sin piy$??? (2 cavolata)
GRAZIE INFINITE!
Hai il dottorato in matematica, dì la verità...
1) sì, diciamo che le rette $y=+-1/2$ rappresentano degli asintoti orizzontali per le soluzioni y(x) dell'eq. diff
2) il grafico in questione rappresenta semplicemente il campo delle pendenze delle soluzioni dell'eq diff (e non è quello che detto tu
)
P.S. non ho neanche il dottorato nel mio campo, figuriamoci in mate
2) il grafico in questione rappresenta semplicemente il campo delle pendenze delle soluzioni dell'eq diff (e non è quello che detto tu
)P.S. non ho neanche il dottorato nel mio campo, figuriamoci in mate
OK, è che pensavo che questo grafico avesse altre interpretazioni...
PS1: te la daranno ad HONORIS CAUSA!
PS2: sei un ingegnere allora? Ma uno colto.
PS3: io studio Informatica a Scienze MM FF NN...
PS1: te la daranno ad HONORIS CAUSA!
PS2: sei un ingegnere allora? Ma uno colto.
PS3: io studio Informatica a Scienze MM FF NN...
"Giova411":
PS2: sei un ingegnere allora?
Ma uno colto.
Ne ho trovato uno non autonomo e sono nei pasticci....
a) $y^{\prime} = t(1-y^2)$
b) $y^{\prime} = t*sin(pi*y)$
c) $y^{\prime} = t^2*y(1-y)$
d) $y^{\prime} = sin(pi*t)*y(1-y)$
Ho notato che in $y=1$ e $y=0$ (tangenti orizz) ho le soluzioni di equilibrio... Ma poi mi blocco.
Ora mi devo chiedere:
quando a, b, c, o d sono = $0$ nei punti $0$ e $1$?
Che dovrò inserire in ognuno di loro.. Ci sono?
quando a, b, c, o d sono = $0$ nei punti $0$ e $1$?
Che dovrò inserire in ognuno di loro.. Ci sono?
Il b se y=0 tutto fa zero e se y=1 tutto fa anche zero.
E' questo forse?
Ma devo fare sostituzioni a t pure? E' un pacco....
E' questo forse?
Ma devo fare sostituzioni a t pure? E' un pacco....
andiamo per esclusione:
a) non può essere, perchè anche y=-1 dovrebbe avere tg orizz, ma così non è
b) non può essere, stesso motivo di a)
ora, se fissiamo un y, ad es. y=-0.5 notiamo che l'andamento delle pendenze è periodico di periodo T=2, quindi f(t,-0.5) dovrà essere una funzione periodica di periodo T=2, questo avviene con la d)
a) non può essere, perchè anche y=-1 dovrebbe avere tg orizz, ma così non è
b) non può essere, stesso motivo di a)
ora, se fissiamo un y, ad es. y=-0.5 notiamo che l'andamento delle pendenze è periodico di periodo T=2, quindi f(t,-0.5) dovrà essere una funzione periodica di periodo T=2, questo avviene con la d)
Ma come fai??!
Per a e b hai calcolato il limite per vedere gli asintoti? Come si capisce?
I punti gli ho azzecati $y=0, y=1$?
Dove l'hai tirato fuori $-0.5$? Il fatto che sia periodico non lo capisco... Poi figuriamoci il periodo T=2...
Mammamia che bordello ste cose!
"luca.barletta":
andiamo per esclusione:
a) non può essere, perchè anche y=-1 dovrebbe avere tg orizz, ma così non è
b) non può essere, stesso motivo di a)
Per a e b hai calcolato il limite per vedere gli asintoti? Come si capisce?
I punti gli ho azzecati $y=0, y=1$?
"luca.barletta":
ora, se fissiamo un y, ad es. y=-0.5 notiamo che l'andamento delle pendenze è periodico di periodo T=2, quindi f(t,-0.5) dovrà essere una funzione periodica di periodo T=2, questo avviene con la d)
Dove l'hai tirato fuori $-0.5$? Il fatto che sia periodico non lo capisco... Poi figuriamoci il periodo T=2...
Mammamia che bordello ste cose!
capito il periodico di T=2. Vai! Andiamo a Bincere!
Però l'ho capito graficamente...
non lo riesco a vedere in d) nella eq...
Però l'ho capito graficamente...
non lo riesco a vedere in d) nella eq...
Per a) e b) basta vedere quando si annulla y'; hai beccato y=0, y=1 ma ti mancava y=-1
il y=-0.5 l'ho preso come esempio per fissare le idee, cioè volevo che ragionassi a y costante, per vedere l'effetto della variabile t sulla pendenza. L'effetto di t è quello di creare una periodicità nelle pendenze, quindi dovrà comparire come argomento di una funzione periodica, perciò la scelta ricade sulla d)
il y=-0.5 l'ho preso come esempio per fissare le idee, cioè volevo che ragionassi a y costante, per vedere l'effetto della variabile t sulla pendenza. L'effetto di t è quello di creare una periodicità nelle pendenze, quindi dovrà comparire come argomento di una funzione periodica, perciò la scelta ricade sulla d)
Ma y=-1 nel grafico ha pendenze diverse. Quindi non c'é.
a) si annulla quanto y=+-1 ma t non lo considero? se t=0?
a) si annulla quanto y=+-1 ma t non lo considero? se t=0?
La periodicità la vedo nel grafico: ogni 2t ho pendenza nulla. Ma come faccio a vederla nell'equazione?
...Dai che ci sono quasi!
...Dai che ci sono quasi!
"Giova411":
Ma y=-1 nel grafico ha pendenze diverse. Quindi non c'é.
a) si annulla quanto y=+-1 ma t non lo considero? se t=0?
infatti l'equazione ti dice che dovrebbe esserci un asintoto anche per y=-1, ma nel grafico così non è
"Giova411":
La periodicità la vedo nel grafico: ogni 2t ho pendenza nulla. Ma come faccio a vederla nell'equazione?
...Dai che ci sono quasi!
nell'equazione hai $sin(pit)$ per quel che riguarda la variabile indipendente t. Questa funzione ha periodo T=2, infatti $sin(pit)=sin(pi(t+T))$
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