Campo d'esistenza funzione esponenziale a^x!!
ragazzi paicere sono PAOLO!!!
volevo chiedervi mi sapreste spiegazioni sul campo d'esistenza della funzione esponenziale!!
I caso: a^x
IIcaso: (x-2)^(x+4)
volevo chiedervi mi sapreste spiegazioni sul campo d'esistenza della funzione esponenziale!!
I caso: a^x
IIcaso: (x-2)^(x+4)
Risposte
"wedge":finalmente a me questo interssava sapere che quando ho una funzione esponenziale con base nn numerica semplice ma con variabili imporla maggiore di zero!!ecco la generalizzazione che cercavo grazie mille ragazzi!!
ma li leggi gli interventi? si comunque.
la spiegazione breve e schematica ti è già stata data.
te la ripeto
il campo di esistenza di f(x)^g(x) è dato dalla intersezione di
_campo di esistenza di f(x)
_campo di esistenza di g(x)
_insieme di positività di f(x) (-> quest'ultimo per convenienza, come ti è stato già detto)
Benissimo!... Da ora la funzione esponeniale la scriviamo in questa maniera...
$a^x=e^(x*lna)$ (1)
... e così si evita un sacco di 'confusione'. Ora è chiaro che, dal momento che la funzione $e^gamma$ è definita per qualunque $gamma$ reale o complesso, il dominio della funzione $f(x)=x*ln a$, è contenuto nel dominio della funzione esponenziale. Pertanto possiamo subito dire che per $a>0$ e $x$ qualunque la (1) è univocamente definita...
Giusto fin qui?...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$a^x=e^(x*lna)$ (1)
... e così si evita un sacco di 'confusione'. Ora è chiaro che, dal momento che la funzione $e^gamma$ è definita per qualunque $gamma$ reale o complesso, il dominio della funzione $f(x)=x*ln a$, è contenuto nel dominio della funzione esponenziale. Pertanto possiamo subito dire che per $a>0$ e $x$ qualunque la (1) è univocamente definita...
Giusto fin qui?...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
"lupo grigio":
Benissimo!... Da ora la funzione esponeniale la scriviamo in questa maniera...
$a^x=e^(x*lna)$ (1)
... e così si evita un sacco di 'confusione'. Ora è chiaro che, dal momento che la funzione $e^gamma$ è definita per qualunque $gamma$ reale o complesso, il dominio della funzione $f(x)=x*ln a$, è contenuto nel dominio della funzione esponenziale. Pertanto possiamo subito dire che per $a>0$ e $x$ qualunque la (1) è univocamente definita...
Giusto fin qui?...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
grazie mille sei estremamente gentile!
cordiali saluti anche a te.
così è ancora più chiaro...
Benissimo!... sperando di non essere interrotti ancora una volta dalle .... proviamo ad andare avanti...
La funzione...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
... has no problems for $a>0$ and every $x$... very good!!!...
che succede però per $a=0$ e $a<0$?...
Abbiamo definito in precedenza il caso di un numero reale $a$ elevato ad un intero $n$. Ciò significa che per ogni a reale e ogni intero $n$ la quantità $a^n$ è univocamente definita. A questo punto verrebbe 'naturale' la richiesta che per $x=n$ sia...
$a^x=a^n$ (2)
Abbastanza ovvio, non è vero?... Dal momento che nel secondo membro della (2) $a$ può essere un qualunque numero reale occorre fare in modo che ciò possa essere anche nel primo membro... o no?... Sorge il problema quindi di risolvere la cosa definendo la funzione esponenziale quando $a$ è un qualunque numero reale...
Giusto no?...
cordiali saluti
lupo grigio
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La funzione...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
... has no problems for $a>0$ and every $x$... very good!!!...
che succede però per $a=0$ e $a<0$?...
Abbiamo definito in precedenza il caso di un numero reale $a$ elevato ad un intero $n$. Ciò significa che per ogni a reale e ogni intero $n$ la quantità $a^n$ è univocamente definita. A questo punto verrebbe 'naturale' la richiesta che per $x=n$ sia...
$a^x=a^n$ (2)
Abbastanza ovvio, non è vero?... Dal momento che nel secondo membro della (2) $a$ può essere un qualunque numero reale occorre fare in modo che ciò possa essere anche nel primo membro... o no?... Sorge il problema quindi di risolvere la cosa definendo la funzione esponenziale quando $a$ è un qualunque numero reale...
Giusto no?...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Se uno si limita agli esponenti interi non ci sono problemi anche se $a<0$; ma se uno vuole un minimo di struttura topologica "buona" del dominio conviene scartare il caso $a \le 0$. Come è già stato osservato se l'esponente è razionale con denominatore pari ci sono dei problemi, sempre che si stia lavorando in $\RR$ e non in $C$.
Un aspetto assai 'piacevole' dei cosiddetti 'problemi' è che qualche volta gli Dei concedono a noi miseri mortali la soddisfazione... di risolverli... 
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi èpiù sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi èpiù sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Se hai delle idee interessanti su come rendere sensata la potenza a base negativa (restando in $\RR$ ovviamente) sei il benvenuto ad illustrarcele...
Very good!... speriamo ora di poter scrivere senza essere 'interrotti'!... e poi rimanere in $RR$ nessun medico lo ha mai 'prescritto', diversamente ancora non saremmo in grado di affrontare, ad esempio, l'equazione...
$x^2+1=0$
... con tutte le 'piacevoli conseguenze' che ne derivano ...
Torniamo dunque alla nostra 'espressione'...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
Che cosa succede quando $a<0$?... e' opinione comune che il logaritmo di un numero negativo 'non esiste'... peccato che circa tre secoli fà un tal Euler abbia dimostrato che è...
$e^(j*x)= cos x + j*sin x$ (2)
e di conseguenza è...
$ln (-1)= j*pi$ (3)
Se dunque $a$ è negativo possiamo scrivere...
$ln a= ln |a| +j*pi$ (4)
... ed il gioco è fatto!...
Sostituendo la (4) nella (1) per $a<0$ si ha...
$a^x= e^(x*ln a)=e^(x*(ln |a|+j*pi))$ (5)
Pertanto anche per $a<0$ la funzione (1) has no problem...
cordiali saluti
lupo grigio
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$x^2+1=0$
... con tutte le 'piacevoli conseguenze' che ne derivano
... Torniamo dunque alla nostra 'espressione'...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
Che cosa succede quando $a<0$?... e' opinione comune che il logaritmo di un numero negativo 'non esiste'... peccato che circa tre secoli fà un tal Euler abbia dimostrato che è...
$e^(j*x)= cos x + j*sin x$ (2)
e di conseguenza è...
$ln (-1)= j*pi$ (3)
Se dunque $a$ è negativo possiamo scrivere...
$ln a= ln |a| +j*pi$ (4)
... ed il gioco è fatto!...
Sostituendo la (4) nella (1) per $a<0$ si ha...
$a^x= e^(x*ln a)=e^(x*(ln |a|+j*pi))$ (5)
Pertanto anche per $a<0$ la funzione (1) has no problem...
cordiali saluti
lupo grigio
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"lupo grigio":
Very good!... speriamo ora di poter scrivere senza essere 'interrotti'!... e poi rimanere in $RR$ nessun medico lo ha mai 'prescritto', diversamente ancora non saremmo in grado di affrontare, ad esempio, l'equazione...
$x^2+1=0$
... con tutte le 'piacevoli conseguenze' che ne derivano
Torniamo dunque alla nostra 'espressione'...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
Che cosa succede quando $a<0$?... e' opinione comune che il logaritmo di un numero negativo 'non esiste'... peccato che circa tre secoli fà un tal Euler abbia dimostrato che è...
$e^(j*x)= cos x + j*sin x$ (2)
e di conseguenza è...
$ln (-1)= j*pi$ (3)
Se dunque $a$ è negativo possiamo scrivere...
$ln a= ln |a| +j*pi$ (4)
... ed il gioco è fatto!...
Sostituendo la (4) nella (1) per $a<0$ si ha...
$a^x= e^(x*ln a)=e^(x*(ln |a|+j*pi))$ (5)
Pertanto anche per $a<0$ la funzione (1) has no problem...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
grazie mille degli approfondimenti estremamente chiari!!!
Rinnovo la domanda visto che non ha avuto risposta: rimanere in $\RR$.
Visto che c'è qualcuno che 'rinnova', anche il sottoscritto rinnoverà la risposta 'automatica' prevista in casi come questo...
Al contrario il tempo dedicato a chiarire i 'dubbi' di 'paoletto', visto l'entusiasmo da lui dimostrato riguardo al 'problema', mi pare decisamante 'tempo ben speso'
...
Si è visto che per $a>0$ e $a<0$ l'espressione...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
... has no problems... Ora dobbiamo rispondere all'ovvio quesito: e per $a=0$?... Diciamo subito che per $a=0$ there is some minor problem. Per rispondere a questo quesito chi scrive aveva sviluppato a suo tempo un preciso schema proprio su qesto sito e pochi giorni fà ho fatto una [graditissima] 'scoperta': tale studio che ritenevo 'perduto' è stato ritrovato grazie all'intelligente inziativa di un altro forumista!... Ebbene stavo traducendo le formule ricavate allora in edizione 'moderna' allorchè il thread sul quale stavo lavorando è stato 'lucchettato' senza che alcuno abbia fornito una qualsiasi 'spiegazione' a ciò. E' chiaro che a questo punto per fornire a 'paoletto' una risposta 'esaudiente' devo necessariamente ripristinare il lavoro di 'riedizione' intrapreso e non completato. Contando sulla 'collaborazione' di Moderatori e Amministratori, i quali mi auguro 'almeno' approveranno la cosa, conto di fare ciò nella giornata di domani...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Al contrario il tempo dedicato a chiarire i 'dubbi' di 'paoletto', visto l'entusiasmo da lui dimostrato riguardo al 'problema', mi pare decisamante 'tempo ben speso'
... Si è visto che per $a>0$ e $a<0$ l'espressione...
$a^x=e^(x*ln a)$ (1)
... has no problems... Ora dobbiamo rispondere all'ovvio quesito: e per $a=0$?... Diciamo subito che per $a=0$ there is some minor problem. Per rispondere a questo quesito chi scrive aveva sviluppato a suo tempo un preciso schema proprio su qesto sito e pochi giorni fà ho fatto una [graditissima] 'scoperta': tale studio che ritenevo 'perduto' è stato ritrovato grazie all'intelligente inziativa di un altro forumista!... Ebbene stavo traducendo le formule ricavate allora in edizione 'moderna' allorchè il thread sul quale stavo lavorando è stato 'lucchettato' senza che alcuno abbia fornito una qualsiasi 'spiegazione' a ciò. E' chiaro che a questo punto per fornire a 'paoletto' una risposta 'esaudiente' devo necessariamente ripristinare il lavoro di 'riedizione' intrapreso e non completato. Contando sulla 'collaborazione' di Moderatori e Amministratori, i quali mi auguro 'almeno' approveranno la cosa, conto di fare ciò nella giornata di domani...
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
"lupo grigio":
Che cosa succede quando $a<0$?... e' opinione comune che il logaritmo di un numero negativo 'non esiste'... peccato che circa tre secoli fà un tal Euler abbia dimostrato che è...
$e^(j*x)= cos x + j*sin x$ (2)
Perdonate la mia infinta ignoranza, ma questa non è la forma trigonometrica di Eulero per i numeri complessi? cioè, in questo modo non si finisce in $CC$?
Appunto WiZaRd...
Ragazzi
per oggi era in programma fornire a ‘paoletto’ l’esame del comportamento della funzione $a^x=e^(x*ln a)$ nel caso in cui sia $a=0$. Per questo avevo richiesto alla spett. Amministrazione la facoltà di poter riprendere alcune formule da me scritte su questo forum cinque anni fà, formule che nessuno ha mai dimostrato essere ‘false’ per il semplice motivo che tali non sono, in modo da poter supportare con esse le mie ‘argomentazioni’. La risposta della spett. Amministrazione è stata data in maniera ‘indiretta’ su un post diverso dal presente e da esso totalmente 'scorrelato'. Il contenuto di tale ‘risposta’ lo potete leggere qui…
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 899#168899
E’ evidente per chiunque il significato di tale ‘ammonimento’ che costituisce una vera e propria minaccia al libero scambio di opinioni sul presente sito. La pratica in uso nei peggiori regimi totalitari del Pianeta [passati e presenti…] , vale a dire il privare del diritto di espressione altri avocando a sé la facoltà insindacabile di emettere giudizio inappellabile sulla ‘veridicità’ di quanto dichiarato dal ‘dissenziente’, sembra essere divenuta prassi abituale su www.matematicamente.it . Stando così le cose non ho altra scelta che pregare il Proprietario del sito di intervenire per chiarire il proprio punto di vista, quale che esso sia. Tale intervento mi pare ‘necessario’ per la salvaguardia del diritto di libera espressione delle idee non solo mia, ma di tutti gli utenti del sito. Nel frattempo ringrazio ‘paoletto’ per gli attestati di stima che ha voluto tributarmi e prometto di tornare a dialogare con lui sulla questione nel caso che siano fornite un minimo di ‘garanzie’ di poter esprimere liberamente il mio personale pensiero… cosa garantita a me e a tutti i cittadini dalla nostra Costituzione…
cordiali saluti
lupo grigio
per oggi era in programma fornire a ‘paoletto’ l’esame del comportamento della funzione $a^x=e^(x*ln a)$ nel caso in cui sia $a=0$. Per questo avevo richiesto alla spett. Amministrazione la facoltà di poter riprendere alcune formule da me scritte su questo forum cinque anni fà, formule che nessuno ha mai dimostrato essere ‘false’ per il semplice motivo che tali non sono, in modo da poter supportare con esse le mie ‘argomentazioni’. La risposta della spett. Amministrazione è stata data in maniera ‘indiretta’ su un post diverso dal presente e da esso totalmente 'scorrelato'. Il contenuto di tale ‘risposta’ lo potete leggere qui…
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 899#168899
E’ evidente per chiunque il significato di tale ‘ammonimento’ che costituisce una vera e propria minaccia al libero scambio di opinioni sul presente sito. La pratica in uso nei peggiori regimi totalitari del Pianeta [passati e presenti…] , vale a dire il privare del diritto di espressione altri avocando a sé la facoltà insindacabile di emettere giudizio inappellabile sulla ‘veridicità’ di quanto dichiarato dal ‘dissenziente’, sembra essere divenuta prassi abituale su www.matematicamente.it . Stando così le cose non ho altra scelta che pregare il Proprietario del sito di intervenire per chiarire il proprio punto di vista, quale che esso sia. Tale intervento mi pare ‘necessario’ per la salvaguardia del diritto di libera espressione delle idee non solo mia, ma di tutti gli utenti del sito. Nel frattempo ringrazio ‘paoletto’ per gli attestati di stima che ha voluto tributarmi e prometto di tornare a dialogare con lui sulla questione nel caso che siano fornite un minimo di ‘garanzie’ di poter esprimere liberamente il mio personale pensiero… cosa garantita a me e a tutti i cittadini dalla nostra Costituzione…
cordiali saluti
lupo grigio
Il proprietario entra nel merito di ciò che attiene appunto alla proprietà, non certo sul pensiero dei suoi collaboratori: coamministratore e moderatori.
La direzione di questo forum è affidata a un gruppo di persone che decidono in maniera democratica, con strumenti che si sono liberamente dati, e non sulla base della nuda proprietà di oggetti.
La direzione di questo forum è affidata a un gruppo di persone che decidono in maniera democratica, con strumenti che si sono liberamente dati, e non sulla base della nuda proprietà di oggetti.
E qui si continua a confondere $RR$ con $CC$....
‘Ciascuno chiama idee chiare quelle che hanno lo stesso grado di confusione delle sue…’
M. Proust
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
M. Proust
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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