Campo conservativo/non conservativo!
ciao a tutti, preparando analisi 2 mi trovo davanti a questi due esempi:
CAMPO IRROTAZIONALE NON CONSERVATIVO
F definito in $A= RR^2 \\ {(0,0)}$
$F(x,y)=((-y)/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$
Ho capito perchè non è conservativo (l'integrale del campo su una circonferenza di centro l'origine e raggio R non è nullo), ma le condizioni sufficenti non sono che il campo deve essere irrotazione e definito su un insieme connesso ( $A= RR^2 \\ {(0,0)}$ lo è no?) ???
Andando avanti mi trovo
F definito in $A= RR^2 \\ {(0,0)}$
$F(x,y)=((2x)/(x^2+y^2),(2y)/(x^2+y^2))$
Campo irrotazionale e definito su $A= RR^2 \\ {(0,0)}$ connesso, quindi conservativo..
ora quello che mi chiedo è: se gli insieme sono identici e i campi entrambi irrotazionali, perchè uno è conservativo e l'altro no??vuol dire che le condizioni non sono sufficienti! dove sbaglio?????
CAMPO IRROTAZIONALE NON CONSERVATIVO
F definito in $A= RR^2 \\ {(0,0)}$
$F(x,y)=((-y)/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$
Ho capito perchè non è conservativo (l'integrale del campo su una circonferenza di centro l'origine e raggio R non è nullo), ma le condizioni sufficenti non sono che il campo deve essere irrotazione e definito su un insieme connesso ( $A= RR^2 \\ {(0,0)}$ lo è no?) ???
Andando avanti mi trovo
F definito in $A= RR^2 \\ {(0,0)}$
$F(x,y)=((2x)/(x^2+y^2),(2y)/(x^2+y^2))$
Campo irrotazionale e definito su $A= RR^2 \\ {(0,0)}$ connesso, quindi conservativo..
ora quello che mi chiedo è: se gli insieme sono identici e i campi entrambi irrotazionali, perchè uno è conservativo e l'altro no??vuol dire che le condizioni non sono sufficienti! dove sbaglio?????
Risposte
"ancileddu":
ciao a tutti, preparando analisi 2 mi trovo davanti a questi due esempi:
CAMPO IRROTAZIONALE NON CONSERVATIVO
F definito in $A= RR^2 \\ {(0,0)}$
$F(x,y)=((-y)/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$
Ho capito perchè non è conservativo (l'integrale del campo su una circonferenza di centro l'origine e raggio R non è nullo), ma le condizioni sufficenti non sono che il campo deve essere irrotazione e definito su un insieme connesso ( $A= RR^2 \\ {(0,0)}$ lo è no?) ???
La condizione sufficiente richiede che l'insieme sia semplicemente connesso (e \(\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) non lo è).
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F definito in $A= RR^2 \\ {(0,0)}$
$F(x,y)=((2x)/(x^2+y^2),(2y)/(x^2+y^2))$
Campo irrotazionale e definito su $A= RR^2 \\ {(0,0)}$ connesso, quindi conservativo..
ora quello che mi chiedo è: se gli insieme sono identici e i campi entrambi irrotazionali, perchè uno è conservativo e l'altro no??vuol dire che le condizioni non sono sufficienti! dove sbaglio?????
In questo caso il campo è conservativo (ma non per i motivi citati); infatti è irrotazionale e le circuitazioni attorno all'origine sono tutte nulle (basta calcolarne una).
significa che un campo conservativo può essere definito su un insieme non semplicemente connesso??
"ancileddu":
significa che un campo conservativo può essere definito su un insieme non semplicemente connesso??
Certo; questo è il caso del tuo secondo esempio.
ho capito, perfetto. grazie mille!
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