Campo conservativo/irrotazionale

[andretop00]

Salve, avrei bisogno di un chiarimento.
Il campo è irrotazionale, ma dato che l’integrale lungo la circonferenza non è zero, si conclude che il campo non è conservativo in R2 meno (0,0) per quale motivo?
Non dovrebbe essere localmente conservativo?
Inoltre ammette potenziale, no?
Grazie

[l'abatefarina]

appunto ,è localmente conservativo, non conservativo
in un aperto semplicemente connesso che non contenga l'origine il campo è conservativo e ci trovi il tuo bel potenziale
ad esempio, nell'insieme $E$ proposto sicuramente il campo è conservativo e quindi, come richiesto, troverai un potenziale

[andretop00]

Ok grazie, ma per quale motivo non lo è nel piano $RR^2$ meno l’origine, dato che esiste il pitenziale?

[l'abatefarina]

può benissimo accadere che la formula del potenziale trovato in E coincida con la formula del potenziale determinato nel semipiano con le y negative, ma non è questo il punto

[andretop00]

Ma per quale motivo, se applico la formula per il potenziale, un potenziale si trova

[l'abatefarina]

il fatto che il potenziale esista non equivale a dire che il campo sia conservativo

[andretop00]

Sì esatto, ma io stavo pensando, se non ci fosse quella richiesta e mi fosse solo chiesto di determinare se è conservativo nel piano meno l’origine, come farai a dire che non è conservativo , un potenziale c’è.

[l'abatefarina]

appunto , senza mettere in mezzo il potenziale, già il fatto che hai trovato una curva chiusa lungo la quale la circuitazione non è nulla ti assicura che il campo non è conservativo ; una verifica va fatta perchè la semplice connessione è una condizione sufficiente ma non necessaria : esistono campi irrotazionali definiti su aperti non semplicemente connessi che sono conservativi

[l'abatefarina]

aggiungo un intervento a parte per fare un'osservazione
un potenziale relativo al campo vettoriale è $V=arctan(y/x)$
questo potenziale però non si può applicare ai punti dell'asse $y$ visto che c'è una $x$ al denominatore
quindi , mi sembra che dire che che il campo sia localmente conservativo, vuol dire che è è conservativo in ogni aperto semplicemente connesso che non contenga punti dell'asse delle $y$ cioè in ogni aperto semplicemente connesso in cui si può definire un potenziale

[andretop00]

Ora mi è chiaro, grazie mille