Campo conservativo in R2 privato di un punto
Buonasera a tutti,
sto preparando l'esame di analisi 2 e stavo studiando delle conseguenze del teorema di Stokes. Tra queste ce n'è una che dice: dato F campo vettoriale di classe C1 e irrotazionale in R2 privato di un punto P0, se esiste una curva chiusa regolare semplice che circonda P0 tale che la circuitazione è nulla allora F è conservativo in R2 privato di P0.
Mi stavo chiedendo, R2 privato di P0 è un insieme stellato rispetto a P0 e F è continuo e derivative e irrotazionale in tale insieme, non mi basta applicare il lemma di Poincarrè per dimostrare il teorema?
sto preparando l'esame di analisi 2 e stavo studiando delle conseguenze del teorema di Stokes. Tra queste ce n'è una che dice: dato F campo vettoriale di classe C1 e irrotazionale in R2 privato di un punto P0, se esiste una curva chiusa regolare semplice che circonda P0 tale che la circuitazione è nulla allora F è conservativo in R2 privato di P0.
Mi stavo chiedendo, R2 privato di P0 è un insieme stellato rispetto a P0 e F è continuo e derivative e irrotazionale in tale insieme, non mi basta applicare il lemma di Poincarrè per dimostrare il teorema?
Risposte
Ciao!
Non mi risulta che $\mathbb{R}^2$ privato di un generico punto $P_0$ sia stellato.
Quindi credo che tu non possa applicare il lemma di Poincaré, perché questa ipotesi salta. Ma è un po' che non vedo queste cose, magari mi ricordo male. Per sicurezza aspetta altre conferme.
"sofia123":
Mi stavo chiedendo, R2 privato di P0 è un insieme stellato rispetto a P0
Non mi risulta che $\mathbb{R}^2$ privato di un generico punto $P_0$ sia stellato.
Quindi credo che tu non possa applicare il lemma di Poincaré, perché questa ipotesi salta. Ma è un po' che non vedo queste cose, magari mi ricordo male. Per sicurezza aspetta altre conferme.
"Mephlip":
Ciao!
[quote="sofia123"]
Mi stavo chiedendo, R2 privato di P0 è un insieme stellato rispetto a P0
Non mi risulta che $\mathbb{R}^2$ privato di un generico punto $P_0$ sia stellato.
Quindi credo che tu non possa applicare il lemma di Poincaré, perché questa ipotesi salta. Ma è un po' che non vedo queste cose, magari mi ricordo male. Per sicurezza aspetta altre conferme.[/quote]
Se non ricordo male, un insieme è definito stellato rispetto a P0 se per ogni punto x appartenente all'insieme il segmento che unisce x a P0 è contenuto nell'insieme, o mi sto sbagliando?
Sì, ma nella definizione di insieme stellato è richiesto che $P_0$ appartenga all'insieme stesso. Quindi non si può parlare di insieme stellato rispetto a un punto che non gli appartiene, come nel caso da te riportato nel primo messaggio.
"Mephlip":
Sì, ma nella definizione di insieme stellato è richiesto che $ P_0 $ appartenga all'insieme stesso. Quindi non si può parlare di insieme stellato rispetto a un punto che non gli appartiene, come nel caso da te riportato nel primo messaggio.
Perfetto, grazie mille!
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