Campo conservativo e potenziale
salve a tutti ho un esercizio che non riesco a risolvere del tutto e ho qualche dubbio
avendo il seguente campo $G(x,y)= |(y/(\sqrt{xy})) , (x/(\sqrt{xy}))|$ come faccio a vedere se è conservativo e calcolare il potenziale?
io controllo se è irrotazionale (in questo caso lo è) e poi controllo la condizione di annullamento dell'integrale su una curva chiusa, su questa seconda condizione posso prendere una qualsiasi curva chiusa oppure devo seguire qualche procedura?
nel caso fosse un campo conservativo come lo trovo il potenziale?
avendo il seguente campo $G(x,y)= |(y/(\sqrt{xy})) , (x/(\sqrt{xy}))|$ come faccio a vedere se è conservativo e calcolare il potenziale?
io controllo se è irrotazionale (in questo caso lo è) e poi controllo la condizione di annullamento dell'integrale su una curva chiusa, su questa seconda condizione posso prendere una qualsiasi curva chiusa oppure devo seguire qualche procedura?
nel caso fosse un campo conservativo come lo trovo il potenziale?
Risposte
Se hai fatto vedere che è irrotazionale, sai già che l'integrale di linea lungo qualsiasi curva chiusa è nullo (altrimenti lo dovresti fare con ogni possibile curva chiusa esistente, e ti assicuro che non basterebbe il tempo di questo Universo per finire i conti!). Per trovare il potenziale ci sono vari metodi: io di solito uso quello più "immediato" basato su questa "regola": il potenziale $U$ è una funzione per cui $\nabla U=G$, questo vuol dire che $U_x=G_1,\ U_y=G_2$ (dove $G_i$ sono le componenti del vettore $G$). Detto questo, integrando una delle due condizioni scritte avrai
$$U_x=G_1\ \Rightarrow\ U(x,y)=\int G_1\ dx+h(y)=g_1(x,y)+h(y)$$
dove $g_1=\int G_1\ dx$ mentre $h(y)$ è una funzione arbitraria nella sola variabile $y$. Fatto questo, poiché il potenziale deve soddisfare entrambe le condizioni, si avrà pure
$$U_y=(g_1(x,y)+h(y))_y=g_1(x,y)_y+h'(y)=G_2(x,y)$$
L'equazione differenziale $h'(y)=G_2(x,y)-g_1(x,y)$ risulterà dipendere dalla sola variabile $y$ a causa della conservatività del campo, e questo permette di determinare il valore di $h(y)$. Fatto questo hai concluso.
Nota: prima di procedere con questi calcoli, comunque, sarebbe buona norma scriver e il dominio di definizione del campo e quello in cui esso risulta conservativo, in quanto questo tipo di ragionamento vale per domini semplicemente connessi e, nel caso il dominio di definizione non appartenga a tale categoria, dovrai ripetere la cosa per ogni singola componente semplicemente connessa dello stesso.
$$U_x=G_1\ \Rightarrow\ U(x,y)=\int G_1\ dx+h(y)=g_1(x,y)+h(y)$$
dove $g_1=\int G_1\ dx$ mentre $h(y)$ è una funzione arbitraria nella sola variabile $y$. Fatto questo, poiché il potenziale deve soddisfare entrambe le condizioni, si avrà pure
$$U_y=(g_1(x,y)+h(y))_y=g_1(x,y)_y+h'(y)=G_2(x,y)$$
L'equazione differenziale $h'(y)=G_2(x,y)-g_1(x,y)$ risulterà dipendere dalla sola variabile $y$ a causa della conservatività del campo, e questo permette di determinare il valore di $h(y)$. Fatto questo hai concluso.
Nota: prima di procedere con questi calcoli, comunque, sarebbe buona norma scriver e il dominio di definizione del campo e quello in cui esso risulta conservativo, in quanto questo tipo di ragionamento vale per domini semplicemente connessi e, nel caso il dominio di definizione non appartenga a tale categoria, dovrai ripetere la cosa per ogni singola componente semplicemente connessa dello stesso.
da quel che ho capito pero il fatto che un campo sia irrotazionale non significa per forza che sia conservativo, e quindi devo fare altri controlli... quali sono questi controlli?
quindi se ho ben capito procedo cosi:
$\int y/sqrt(xy)dx=2*sqrt(xy)+ h(y)$
derivo quindi rispetto a y ottenendo:
$x/(sqrt(xy))+h'(y)$
$h'(y)=G_2(x,y)-g_1(x,y)$ ----> $h'(y)=x/(sqrt(xy))-x/(sqrt(xy))$
$h'(y)=0
h(y)=C$ dove $C$ è una costante generica
correggimi se ho sbagliato qualche passaggio
$\int y/sqrt(xy)dx=2*sqrt(xy)+ h(y)$
derivo quindi rispetto a y ottenendo:
$x/(sqrt(xy))+h'(y)$
$h'(y)=G_2(x,y)-g_1(x,y)$ ----> $h'(y)=x/(sqrt(xy))-x/(sqrt(xy))$
$h'(y)=0
h(y)=C$ dove $C$ è una costante generica
correggimi se ho sbagliato qualche passaggio
Giusto. Per quanto riguarda la tua domanda, l'irrotazionalità e il dominio semplicemente connesso permettono di applicare il Lemma di Poincarè, che afferma l'esistenza di un potenziale. Tuttavia non hai determinato il dominio.
come faccio a controllare se è semplicemente connesso?
per il dominio deve essere $x*y>0$ quindi $x>0 y>0$ oppure $x>0 y>0$
per il dominio deve essere $x*y>0$ quindi $x>0 y>0$ oppure $x>0 y>0$
Suppongo che intendessi $x>0\ \wedge y>0$ oppure $x<0\ \wedge\ y<0$. In pratica il dominio è costituito dal primo e terzo quadrante privato degli assi. Conosci la definizione di semplicemente connesso?
si ho sbagliato a scrivere io
se dati due punti qualunque esiste sempre una linea che li collega (detto in modo un po grezzo, ma la definizione dovrebbe essere cosi)
se dati due punti qualunque esiste sempre una linea che li collega (detto in modo un po grezzo, ma la definizione dovrebbe essere cosi)
No, quella è la definizione di connesso per archi (e non è neanche proprio corretta). Questa cosa deve accadere in un dominio semplicemente connesso, ma serve qualcosa in più.
ho controllato su internet la definizione:)
E allora ti sei perso un pezzo, fidati. La connessione per archi non è sufficiente per la semplice connessione. Serve anche che non ci siano "buchi" e questo è determinato dal fatto che ogni curva chiusa interna al dominio possa essere contratta ad un punto senza uscire fuori dal dominio.
intendevo che ho avevo controllato su internet la definizione dopo che mi avevi detto che avevo sbagliato:D
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