Campo conservativo
Salve sono nuova e mi scuso immediatamente se ho sbagliato sezione o a scrivere qualcosa che non dovevo 
.
Avrei un esercizio da risolvere
Prima di aprire una nuova discussione ho cercato e non ho trovato nulla in merito in tutto il web e allora ho pensato di affidarmi ai gentilissimi moderatori di questo forum
Veniamo al dunque il problema in questione è questo:
Dato il campo
F = $ 2/3 $ x i + [tex]y^2[/tex] j
dimostrare che e’ conservativo. Determinarne poi un potenziale e utilizzarlo per calcolare il lavoro del campo lungo il bordo di D in senso antiorario da (1,0) a (−1,0).
D è dato da
{(x,y) ∈ [tex]R^2[/tex] : [tex]x^2[/tex] + [tex]y^2[/tex] ≤ 4 , y ≤ 0}∪T1 ∪T2 dove T1 e’ il triangolo di vertici (0,0), (1,0), (1,1), mentre T2 e’ il triangolo di vertici (0,0), (−1,0), (−1,1).
Di per se l'esercizio non sarebbe difficile, se non fosse che le derivate incrociate valgono 0 e questo mi ha spiazziata al primo passaggio
Spero di essere stata chiara e ringrazio in anticipo chi mi aiuterà
.Avrei un esercizio da risolvere
Prima di aprire una nuova discussione ho cercato e non ho trovato nulla in merito in tutto il web e allora ho pensato di affidarmi ai gentilissimi moderatori di questo forum
Veniamo al dunque il problema in questione è questo:
Dato il campo
F = $ 2/3 $ x i + [tex]y^2[/tex] j
dimostrare che e’ conservativo. Determinarne poi un potenziale e utilizzarlo per calcolare il lavoro del campo lungo il bordo di D in senso antiorario da (1,0) a (−1,0).
D è dato da
{(x,y) ∈ [tex]R^2[/tex] : [tex]x^2[/tex] + [tex]y^2[/tex] ≤ 4 , y ≤ 0}∪T1 ∪T2 dove T1 e’ il triangolo di vertici (0,0), (1,0), (1,1), mentre T2 e’ il triangolo di vertici (0,0), (−1,0), (−1,1).
Di per se l'esercizio non sarebbe difficile, se non fosse che le derivate incrociate valgono 0 e questo mi ha spiazziata al primo passaggio
Spero di essere stata chiara e ringrazio in anticipo chi mi aiuterà
Risposte
Cosa ha che non va lo zero?
Non so procedere senza avere delle variabili non ho trovato esempi simili sul libro di testo nè sul web, non so come determinare un potenziale avendo come derivata 0
non ho trovato esempi simili sul libro di testo nè sul web, non so come determinare un potenziale avendo come derivata 0
Se F è irrotazionale in un insieme semplicemente connesso allora è conservativo.
La condizione di irrotazionalità nel caso di un campo 2D è:
$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}$
Il dominio del campo è $\mathbb{R}^2$ che è semplicemente connesso essendo convesso.
Ma a dire il vero è sufficiente esibire una primitiva (o un potenziale), per dimostrare che il campo è conservativo.
Nel tuo caso la funzione potenziale si vede facilmente ad occhio.
La condizione di irrotazionalità nel caso di un campo 2D è:
$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}$
Il dominio del campo è $\mathbb{R}^2$ che è semplicemente connesso essendo convesso.
Ma a dire il vero è sufficiente esibire una primitiva (o un potenziale), per dimostrare che il campo è conservativo.
Nel tuo caso la funzione potenziale si vede facilmente ad occhio.
Scusami, passerò per un'imbecille, ma la prof ci ha spiegato un metodo risolutivo che implica il verificare appunto che
$ \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x} $
in questo caso vale poichè 0=0 ??
Per quanto riguarda la primitiva dovrebbe essere $ x^2 / 3 $ + $ g(y) $ ma come faccio a trovare $ g(y) $ se (per quanto ho appreso) dovrei fare la derivata di questo stesso risultato rispetto a y che sarebbe 0, di conseguenza avrei $ g(y) $ = $ y^3 / 3 $ ??
In realtà la cosa non mi torna
Ti ringrazio per la risposta
$ \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x} $
in questo caso vale poichè 0=0 ??
Per quanto riguarda la primitiva dovrebbe essere $ x^2 / 3 $ + $ g(y) $ ma come faccio a trovare $ g(y) $ se (per quanto ho appreso) dovrei fare la derivata di questo stesso risultato rispetto a y che sarebbe 0, di conseguenza avrei $ g(y) $ = $ y^3 / 3 $ ??
In realtà la cosa non mi torna
Ti ringrazio per la risposta
"Giusy92":
Per quanto riguarda la primitiva dovrebbe essere $ x^2 / 3 $ + $ g(y) $ ma come faccio a trovare $ g(y) $ se (per quanto ho appreso) dovrei fare la derivata di questo stesso risultato rispetto a y che sarebbe 0
Ne sei sicura? Quindi: $d/dx f(x) = 0$ per ogni f(x)?
Intendi $d/dy f(x) = 0$ + $ g^1(y) $ ?
No intendo che $ \frac{\partial }{\partial y} ( x^2 / 3 + g(y) )= g'(y)$
E quindi $ g'(y) = y^2 $ ?
Per cui il potenziale è $ x^2 / 3 + y^3 / 3 $ ?
Per cui il potenziale è $ x^2 / 3 + y^3 / 3 $ ?
Come fai a verificare se $x^2/3+y^3/3$ è potenziale di F?
Derivando rispetto a x e rispetto a y e in effetti funziona, solo non mi tornava poichè non avevo il riscontro con altri esercizi.
Grazie davvero molte per la pazienza
Grazie davvero molte per la pazienza
Figurati, hai fatto tutto tu!
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