Campo conservativo
Salve a tutti,ho la seguente domanda da porvi:
La funzione $F(x,y)=(y/(x^2+y^2),-x/(x^2+y^2))$ è conservativa?
Se si fanno i conti si può osservare che la funzione soddisfa la condizione di irrotazionalità!
Per quanto riguarda il dominio,la funzione è definita $R^2-{0,0}$ e quindi in teoria l'insieme di definizione NON è semplicemente connesso!O sbaglio?
Qualcuno mi sa dare una mano?Grazie in anticipo
La funzione $F(x,y)=(y/(x^2+y^2),-x/(x^2+y^2))$ è conservativa?
Se si fanno i conti si può osservare che la funzione soddisfa la condizione di irrotazionalità!
Per quanto riguarda il dominio,la funzione è definita $R^2-{0,0}$ e quindi in teoria l'insieme di definizione NON è semplicemente connesso!O sbaglio?
Qualcuno mi sa dare una mano?Grazie in anticipo
Risposte
"GiuseppeRossi":Certo: \(\text{rot} F=0\), ma l'irrotazionalità è in generale solo condizione necessaria alla conservatività.
Se si fanno i conti si può osservare che la funzione soddisfa la condizione di irrotazionalità!
"GiuseppeRossi":Non sbagli. Quindi mancano le condizioni perché valga l'implicazione irrotazionale $\Rightarrow$ conservativo.
definita $R^2-{0,0}$ e quindi in teoria l'insieme di definizione NON è semplicemente connesso!O sbaglio?
Infatti se per esempio prendi la circonferenza \(\gamma(t)=(\cos t, \sin t),t\in [0,2\pi]\), hai che $\oint_{\gamma} F\cdot\mathbf{T}\text{d}s=-2\pi$.
Ciao!
Ti ringrazio Davide!
Si può affermare,tuttavia,che il campo sia localmente conservativo?
Per esempio se considero la circonferenza centrata in $(3,3)$ e di raggio $1$,calcolandomi il lavoro mi accorgo che viene =0!
Si può affermare,tuttavia,che il campo sia localmente conservativo?
Per esempio se considero la circonferenza centrata in $(3,3)$ e di raggio $1$,calcolandomi il lavoro mi accorgo che viene =0!
Purché il dominio sia semplicemente connesso conservativo implica irrotazionale. Per esempio la palla \(B((3,3),3\sqrt{2})\) centrata in \((3,3)\) di raggio \(3\sqrt{2}\) è semplicemente connessa e contiene la circonferenza che hai considerato e quindi la restrizione \(F|_{B((3,3),3\sqrt{2})}\) del tuo campo a tale dominio è conservativa.
Scusa Davide ti pongo l'ultima domanda.
Se una generica funzione è definita in tutto $R^2$ tranne che in un punto,è possibile che il lavoro calcolato lungo una curva chiusa che contiene quel punto venga = 0 ??? Grazie per la pazienza!
Se una generica funzione è definita in tutto $R^2$ tranne che in un punto,è possibile che il lavoro calcolato lungo una curva chiusa che contiene quel punto venga = 0 ??? Grazie per la pazienza!
"GiuseppeRossi":Sì, sì, per esempio prendi \(F:\mathbb{R}^2-\{0\}\to\mathbb{R}\) definita da \(F(x,y)=(x^2+y^2)/(x^2+y^2)\) e integra sul perimetro del quadrato di vertici \((1,1)\),\((-1,1)\),\((-1,-1)\) e \((1,-1)\).
Se una generica funzione è definita in tutto $R^2$ tranne che in un punto,è possibile che il lavoro calcolato lungo una curva chiusa che contiene quel punto venga = 0 ???
"GiuseppeRossi":Di niente!
Grazie per la pazienza!
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