Campo chiuso ed esatto.

[Polvere come te se muoio]

In un compito d'esame chiedeva se un campo era semplicemente connesso nel suo dominio naturale A, ed A = R2 − {(0, 0)}. Di sicuro non è connesso, giusto? Poi chiedeva se era chiuso, e sì, veniva fuori che era chiuso. Poi chiede se è esatto. A me così verrebbe subito da dire che non lo è, perché ok è chiuso, ma per essere esatto il dominio deve essere stellato, che non è, non essendo semplicemente connesso (sapevo che se è stellato --> sempl. connesso).
Invece la risposta giusta è sì, è esatto, ma non spiega perché. Qualcuno mi può spiegare perché? Grazie

[ciampax]

Il dominio $A$ non è semplicemente connesso, per cui vedo difficile poter applicare il Lemma di Poincaré (che è quello che hai citato). La mia domanda è se la richiesta di chiusura ed esattezza fosse riferita ad $A$ e non a qualche sottoinsieme in cui, magari, la semplice connessione fosse automatica.

In ogni caso, che sia chiuso va bene, ma non è detto che sia esatto, per cui mi pare che non ci siano problemi (almeno a giudicare da ciò che scrivi alla fine).

[Polvere come te se muoio]

Scusami, ho sbagliato a scrivere, nell'ultima frase volevo dire che la risposta è che il campo è esatto. Che è chiuso l'ho verificato, ma non mi spiego perché è esatto, visto che non è stellato. Però effettivamente ora mi viene da pensare: il lemma di Poincaré dice che se è chiuso e stellato è anche esatto, ma non è una "freccia a doppio senso", cioè non dice che se non è stellato allora non può essere esatto. E' giusto come ragionamento? Allora cosa bisogna fare in questo caso per verificare se è esatto?

Comunque la domanda era riferita a tutto il dominio, non un suo sottoinsieme, purtroppo.
(PS: modificato il post principale, scusa ancora)

[ciampax]

Che Pincaré non sia necessario e sufficiente è ovvio. Tuttavia non è così semplice riuscire a determinare l'esattezza di una forma chiusa quando non hai tale condizione. Qual era la forma da analizzare? Magari c'è qualche osservazione che si può fare su di essa.

[Polvere come te se muoio]

Era F= [tex]\lgroup (y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 , -2xy/(x^2+y^2)^2 \rgroup[/tex]

[ciampax]

A me non pare per niente esatta. Poi sbaglierò qualcosa...

[Polvere come te se muoio]

Nelle slide del prof dice che è esatto e trova anche i potenziali globali.. Proprio questa non me la spiego! Se qualcun altro vuol dire la sua è ben accetto!

[ciampax]

Un potenziale è questo

$U(x,y)=x/{x^2+y^2}$

che tuttavia non è definito su $(0,0)$. Boh, non so, forse mi sfugge qualcosa.

[Polvere come te se muoio]

Mi puoi solo dire in che modo l'hai trovato? (No, questo argomento non è il mio forte )

[ciampax]

Considera, ad esempio la seconda componete del campo: allora (almeno in modo formale)

$U(x,y)=\int -{2xy}{(x^2+y^2)^2}\ dy+g(x)=$ ponendo $x^2+y^2=t$ nell'integrale e osservando che $2y\ dy=dt$

$=-x\int {dt}/{t^2}+g(x)=x/t+g(x)=x/{x^2+y^2}+g(x)$.

Dovendo poi essere $U_x={y^2-x^2}/{(x^2+y^2)^2}$ si ha

${y^2-x^2}/{(x^2+y^2)^2}={x^2+y^2-x(2x)}/{(x^2+y^2)^2}+g'(x)={y^2-x^2}/{(x^2+y^2)^2}+g'(x)$

e quindi $g'(x)=0$ da cui $g(x)=c$ costante.

[Geppo2]

"Polvere come te se muoio":Nelle slide del prof dice che è esatto e trova anche i potenziali globali.. Proprio questa non me la spiego! Se qualcun altro vuol dire la sua è ben accetto!

Se trovi una primitiva di una forma chiusa, va da sè che questa sia esatta (che il dominio sia semplicemente connesso non è una condizione nesessaria). Mi sembra di ricordare che se il dominio è del tipo $R^2-{(0,0)}$, cioè con un solo "buco", affinchè la forma chiusa sia esatta basta che una circuitazione attorno al "buco" sia zero (come credo accada nella forma in questione).