Campi vettoriali e un integrale che mi manda in panico
Salve ragazzi! Ciò che vi chiedo dovrebbe essere per voi qualcosa di molto banale.
Sto studiando il momento polare in meccanica razionale. Dopo i sistemi discreti di vettori applicati, subentrano i campi vettoriali.
Ebbene, questi sono gli appunti (identici al libro): abbiamo un dominio dello spazio aperto e misurabile \(\displaystyle Ω \). Associo ad ogni punto \(\displaystyle P \) di \(\displaystyle Ω \) un vettore \(\displaystyle \vec{a} \), ottenendo l'applicazione \(\displaystyle \vec{a}:P\in\Omega\longrightarrow \vec{a}(P)\in\Re^3 \). Rendo applicati tutti questi vettori liberi associandovi il punto da cui derivano, quindi ho un sistema di vettori applicati \(\displaystyle \Sigma=\{(P,\vec{a}(P)\}_{P\in\Omega} \), che rappresenta un campo vettoriale definito in \(\displaystyle \Omega \) con valori in \(\displaystyle \Re^3 \).
Si definiscono risultante di un campo vettoriale: \(\displaystyle \vec{R}=\lmoustache_\Omega\vec{a}(P)d\Omega \)
Momento di un campo vettoriale: \(\displaystyle \vec{M_T}=\lmoustache_\Omega\vec{a}(P)\times(T-P)d\Omega \)
Ora il mio dubbio è... qual è la funzione di \(\displaystyle d\Omega \) nei due integrali? Perché, per sommare tutti i vettori dell'applicazione, bisogna moltiplicare ognuno di essi per un volume (o area) infinitesimo(a)? La mia domanda è correlata a ciò che ho sempre pensato fosse un integrale... cioè una semplice sommatoria di elementi, che trova la sua importanza nei casi continui. Ma qui ho una "sommatoria" di vettori moltiplicati per un volume (area)...
Sicuramente avrò detto delle mega corbellerie (altrimenti non avrei il dubbio per il quale vi scrivo), perciò non siate timidi e insultatemi pure
Sto studiando il momento polare in meccanica razionale. Dopo i sistemi discreti di vettori applicati, subentrano i campi vettoriali.
Ebbene, questi sono gli appunti (identici al libro): abbiamo un dominio dello spazio aperto e misurabile \(\displaystyle Ω \). Associo ad ogni punto \(\displaystyle P \) di \(\displaystyle Ω \) un vettore \(\displaystyle \vec{a} \), ottenendo l'applicazione \(\displaystyle \vec{a}:P\in\Omega\longrightarrow \vec{a}(P)\in\Re^3 \). Rendo applicati tutti questi vettori liberi associandovi il punto da cui derivano, quindi ho un sistema di vettori applicati \(\displaystyle \Sigma=\{(P,\vec{a}(P)\}_{P\in\Omega} \), che rappresenta un campo vettoriale definito in \(\displaystyle \Omega \) con valori in \(\displaystyle \Re^3 \).
Si definiscono risultante di un campo vettoriale: \(\displaystyle \vec{R}=\lmoustache_\Omega\vec{a}(P)d\Omega \)
Momento di un campo vettoriale: \(\displaystyle \vec{M_T}=\lmoustache_\Omega\vec{a}(P)\times(T-P)d\Omega \)
Ora il mio dubbio è... qual è la funzione di \(\displaystyle d\Omega \) nei due integrali? Perché, per sommare tutti i vettori dell'applicazione, bisogna moltiplicare ognuno di essi per un volume (o area) infinitesimo(a)? La mia domanda è correlata a ciò che ho sempre pensato fosse un integrale... cioè una semplice sommatoria di elementi, che trova la sua importanza nei casi continui. Ma qui ho una "sommatoria" di vettori moltiplicati per un volume (area)...
Sicuramente avrò detto delle mega corbellerie (altrimenti non avrei il dubbio per il quale vi scrivo), perciò non siate timidi e insultatemi pure
Risposte
Nessuno che mi può aiutare? Su su... non dovrebbe essere difficile 
Up. Dai ragazzi, so che potete farcela.
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